TRANSF~5 (675767), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Замечание.
Группа S в этом случае обозначается 
Теорема 18.
Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и 
. Если G(S) = {
}, то множество 
является группой 
- преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений S, для которой G(S) = G.
Доказательство.
Надо проверить, что 
и 
. Если 
, то эти условия выполнены поскольку G - группа преобразований. Если 
,то ни один из элементов 
не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { 
}. Поэтому 
. Аналогично, поскольку ни один из элементов 
не входит в G, все произведения 
и потому 
. Таким же образом убеждаемся, что 
и, значит, 
. Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом.
Замечание.
Стандартное обозначение для S в этом случае - 
.
Следствие.
Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки):
(2n), 
(4n), 
(24), 
(48), 
(120);
(2n), 
(2n), 
(4n), 
(24).
Замечание 1.
Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18.
Следовательно, это следующие группы:
, 
, , , .
Замечание 2.
Назовем флагом многогранника тройку (D, R, v), где D- некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух его флагов 
и 
существует перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, 
=2Гr, где Г - количество его граней, r - количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
