84330 (675747), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2.2.2 Интервал .

Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.

Результаты вычисления приведены в таблице.

2.2.3 Интервал .

Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.

Результаты вычисления приведены в таблице.

Итак, корнями уравнения будут _{, ,} .

2.3 Метод касательных (метод Ньютона).

В век повальной компьютеризации не есть хорошо считать при помощи логарифмической линейки. Поэтому, разработаем алгоритм и прикладную программу для решения кубических уравнений методом Ньютона.

Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная программа при решении исходного уравнения.

//метод Ньютона длЯ решениЯ кубических уравнений

#include

#include

double a[4]={0},

b[3]={0},

c[2]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

double Calc_Second(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<

cin>>a[i];

}

cout<

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижнЯЯ граница должна быть меньше верхней и не может быть ей равна."<

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

c[0]=b[0]*2;

c[1]=b[1];

cout<<"\n\n\n"

<<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"

<

<<"ПерваЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"

<<"f'(x)="<

<<"ВтораЯ производнаЯ имеет вид : \n\n"

<<"f''(x)="<

}

void Calculation()

{

double x=0, m=0;

cout<<"-------------------------------------------------"<

<<"| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |"<

<<"-------------------------------------------------"<

if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;

else x=maxim;

if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));

else m=abs(Calc_First(minim));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<<(fabs(Calc_Fun(x))/m);

cout<<"|\n";

while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)

{

x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|\n";

}

cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

double Calc_Second(double x)

{

return (c[0]*x+c[1]);

}

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| -4| -66| 1.222222222|

| -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112|

| -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518|

| -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 3| 4| 0.4444444444|

| 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167|

| 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

ПерваЯ производнаЯ имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

ВтораЯ производнаЯ имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 6| 4| 0.6666666667|

| 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479|

| 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|

| 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|

-------------------------------------------------

2.4 Метод итераций. Как и для предыдущего метода, привожу блок-схему алгоритма решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++.

//метод итераций длЯ решениЯ кубических уравнений

#include

#include

double a[4]={0},

b[3]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout<<"Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.\n\n";

}

void Input()

{

cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<

<<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<

for (int i=0;i<4;i++)

{

cout<<"Введите значение коэффициента a["<

cin>>a[i];

}

cout<

<<"Введите нижнюю границу поиска : ";

cin>>minim;

cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

cin>>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout<<"\nНижнЯЯ граница должна быть меньше верхней и не может быть ей

равна." <

<<"Повторите ввод нижней границы : ";

cin>>minim;

cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

cin>>maxim;

}

cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

cin>>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

}

void Calculation()

{

double x=0, x_old=0, m=0;

cout<<"-------------------------------------------------"<

<<"| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |"<

<<"-------------------------------------------------"<

if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;

else m=x=x_old=maxim;

m=fabs(1/Calc_First(m));

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"| |\n";

if(Calc_First(x)>0)

{

do

{

x_old=x;

x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|\n";

}

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

else

{

do

{

x_old=x;

x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|";

cout.width(15);cout.precision(10);

cout<

cout<<"|\n";

}

while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

}

cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| -4| -66| |

| -3.24137931| -9.922506048| 56.07749395|

| -3.127327517| -3.12093462| 6.801571427|

| -3.091454705| -1.064778438| 2.056156183|

| -3.079215872| -0.372281515| 0.6924969227|

| -3.074936774| -0.131239433| 0.241042082|

| -3.073428275| -0.04639844126| 0.08484099175|

| -3.07289496| -0.01642029825| 0.02997814301|

| -3.072706221|-0.005813178631| 0.01060711962|

| -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|

| -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|

| -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|

| -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|

| -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|

| -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|

-------------------------------------------------

П рограмма длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 3| 4| |

| 3.222222222| 0.159122085| 3.840877915|

| 3.231062338| 0.01338370012| 0.1457383849|

| 3.231805877| 0.001151957391| 0.01223174272|

| 3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|

| 3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|

| 3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|

-------------------------------------------------

Программа длЯ решениЯ кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решениЯ.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | X(n+1)-Xn |

-------------------------------------------------

| 6| 4| |

| 5.851851852| 0.2601229487| 3.739877051|

| 5.842217669| 0.0346921878| 0.2254307609|

| 5.840932773| 0.004788677115| 0.02990351069|

| 5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|

| 5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|

| 5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|

| 5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|

-------------------------------------------------

Решив уравнение , получили корень

Метод	Корень № 1	Корень № 2	Корень № 3
Хорд	-3,072638	3,231881	5,840724
Касательных (Ньютона)	-3,072616	3,231855	5,840726
Итераций	-3,072602	3,231875	5,840726

Для дальнейших расчетов будем использовать среднее арифметическое значение полученных корней.

3. Используя полученные значения, определим собственные значения исходной матрицы.

Собственные вектора матрицы А= определим по формуле

Для нашей матрицы, данная формула примет следующий вид

Коэффициенты определяются по схеме Горнера:

Для имеем:

Для имеем:

Для имеем:

Далее можем найти собственные векторы:

4. Для контроля полученных значений, развернем исходную матрицу А= , и определим ее собственные векторы методом непосредственного развертывания.

Характеристический многочлен для данной матрицы имеет вид:

.

Находим .

Число диагональных миноров второго порядка у матрицы второго порядка .

Выписываем эти миноры и складываем их:

.

И, в заключение, находим

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид

Данное уравнение идентично уравнению, полученному при помощи метода Крылова. Нет смысла заново его решать. Воспользуемся уже вычисленными корнями (их средним значением).

Определим собственный вектор , соответствующий .

, или

Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы

Примем , тогда и .

Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .

Мы можем проверить наши вычисления, взяв :

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.

Определим собственный вектор , соответствующий .

, или

Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы

Примем , тогда и .

Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .

Мы можем проверить наши вычисления, взяв :

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.

Определим собственный вектор , соответствующий .

, или

Из третьего уравнения системы выведем и подставим его в первое уравнение системы

Примем , тогда и .

Итак, искомый вектор матрицы , найденный с точностью до постоянного множителя , для собственного значения матрицы будет:

При помощи метода Крылова, мы получили точное значение собственного вектора .

Мы можем проверить наши вычисления, взяв :

Как видно, мы получил идентичный, до третьего знака, результат.

Характеристики

Список файлов реферата