3 (675636), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е

D₁: x= - a/e

D₂: x= a/e

р=а(1-е²)/е – для эллипса

р=а(е²-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|, xe+a>0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂<0 – гиперболический тип

I₂=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0 (2)

точка О’ находится из условия: a₁₃’=0 и a₂₃’=0.

Получается система a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0 и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x₀ и y₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I₂0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а₁₂=0. a₁₂’= -0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0 (3)

Характеристики

Список файлов реферата