6027-1 (675530), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

це означає, що β є також розв'язком конгруенції (1).

Друге твердження випливає з таких міркувань: припустимо, що

х ≡ α_i (mod т_і)

є будь-який розв'язок конгруенції

f(x) ≡ 0 (mod т_і),

тоді завжди можна знайти єдине число x₁, яке є розв'язком системи лінійних конгруенцій:

х ≡ α₁ (mod т₁),

х ≡ α₂ (mod т₂),

……………… (3)

х ≡ α_k (mod т_k).

Це число x₁ визначається за модулем т = m₁m₂ ... m_k; воно буде розв'язком системи (2), а отже, і конгруенції (1). Але, комбінуючи кожен розв'язок однієї конгруенції з системи (2) з кожним розв'язком решти конгруенцій, ми, очевидно, дістанемо S₁∙S₂…S_k = S лінійних систем конгруенцій типу (3) і, через те що кожна така система має єдиний розв'язок, який є розв'язком як системи (2), так і конгруенції (1), то цим і доведено другу частину теореми.

Висновок 1. Якщо хоч одна з конгруенцій системи (2) не має розв'язків, то й дана конгруенція (2) також не матиме розв'язків.

Висновок 2. Дослідження і розв'язування конгруенції

f(x) ≡ 0 (mod т),

де т = — канонічний розклад модуля т — зводиться до дослідження і розв'язування конгруенцій:

f(x) ≡ 0 (mod ) (і = 1, 2, ..., k).¹

Це випливає з того, що числа , , ..., попарно взаємно прості.

Отже, все зводиться до того, що доводиться окремо досліджувати і розв'язувати конгруенції виду

f(x) ≡ 0 (mod ), (4)

де p — просте число, α — ціле додатне число. Зауважимо, що всякий розв'язок конгруенції (4) буде розв'язком конгруенції

f(x) ≡ 0 (mod p). (5)

Очевидно, якщо конгруенція (5) не має розв'язків, то й конгруенція (4) розв'язків не матиме. Справді, з припущення виходить, що при жодному цілому х не має місця конгруенція

f(x) ≡ 0 (mod p),

тобто f(х) не ділиться на р, але тоді f(х) і поготів не ділитиметься на p^α, тобто

f(x) ≠ 0 (mod )

ні при якому цілому х.

Висновки

Розглянуто конгруенції, їх означення та основні властивості.

Також розглянуто класи чисел за даним модулем та класи розв’язків конгруенції довільного степеня.

Було звернено увагу на системи конгруенцій

Доведено цілий ряд теорем необхідних при розв’язуванні конгруенцій з невідомою величиною.

Розв’язано декілька прикладів;

Після доведення теорем, рішення прикладів та введення означень була отримана певна кількість висновків щодо тих чи інших операцій над конгруенціями.

Список литературы

Бородін О.І., Теорія чисел. “Радянська школа”, К., 1965. – 244с.

Бухштаб А.А., Теория чисел. Учпедгизд., М., 1960. – 375с.

Окунев Л.Я., Краткий курс теории чисел, Учебное пособие для пединститутов, М., 1956

Сушкевич А.К., Теорія чисел. Видавництво Харківського Державного Університета Імені А.М.Горького, Х.,1954.

Приложение

СХЕМА ГОРНЕРА

P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ ;

P_n-1(x) = S_n-1(x)(x – c) + R ;

S_n-1(x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + …+b₁x + b₀ ;

(x – c);

a_n = b_n-1 ; b_n-1 = a_n ;

a_n-1 = b_n-2 – cb_n-1 ; b_n-2 = a_n-1 + cb_n-1 ;

a_n-2 = b_n-3 – cb_n-2 ; b_n-3 = a_n-2 + cb_n-2 ;

………………… …………………

a₀ = R – cb₀ ; R = a₀ + cb₀ ;

Таблиця

СТРУКТУРНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СХЕМИ ГОРНЕРА

1 Рівняння

a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=pt (*)

з цілими коефіцієнтами і p>1 еквівалентне конгруенції (1). Внаслідок такої залежності задачу на розв’язання рівняння (*) в цілих числах можна замінити задачею про розв’язання конгруенції (1), що і застосовується в теорії чисел.

1 З цієї причини в теорії конгруенцій звичайно приймають, що модуль конгруенції – просте число або степінь простого числа.

Характеристики

Список файлов реферата