theory (660690), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.

2.8 Лоренцево сокращение длины

Стержень, расположенный вдоль оси 0^X^ движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l₀. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца:

x1 = 0, x2 = l = l0 ________ 1 - V2/c2 .

(18)

Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца - Фитцджеральда.

Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается:

V = V0 ________ 1 - V2/c2 .

(19)

3 Динамика специальной теории относительности

3.1 Энергия и импульс частицы

Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя.

Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью , называется векторная величина , определяемая формулой

 p = m  v ________ 1 - (v/c)2 .

(20)

Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c  0,  m (с точностью до линейных по v/c слагаемых).

Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением

E = m c2 ________ 1 - (v/c)2 .

(21)

Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия в ньютоновской механике.

Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E₀:

E0 = mc2.

При  = v/c  0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде

E = mc2 + m v2 2 = E0 + m v2 2 .

Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc² = T называют кинетической энергией релятивистской частицы.

Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы:

 v = c2  p E .

(22)

3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса

Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x.

Закон преобразования для величин (E, ) и (E^, ^), измеряемых в системах S и S^, имеет форму преобразования (23):

E = E - V px ________ 1 - (V/c)2 , px = px - E V/c2 ________ 1 - (V/c)2 , py = py, pz = pz.

(23)

Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из формул (23) следует, что

   E c    2 -  p 2 =    E c    2 -  p 2 = m2 c2,

из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом.

Рис. 10

Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике:

.

Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c² + p²/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c.

Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c², вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости:

m(v) = m ________ 1 - (v/c)2 .

Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы.

Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([(1 - (v/c)²)])] лишено физического смысла!

3.3 Частицы с нулевой массой покоя

Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света. Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением:

  p  = E c ,

откуда следует, что здесь

(E/c)2 -  p 2 = 0

в соответствии с тем, что m = 0.

К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе "Квантовая теория" - задание N 5.

3.3 Релятивистский эффект Доплера

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну

E(  r ,t) = E0 cos    k ·  r -  t   .

(23)

Здесь - частота волны, а = k - волновой вектор (k = [()/( c)] - волновое число, - единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).)

Рис. 11

Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом  к оси 0x, вдоль которой со скоростью V движется "штрихованная" система отсчета S^. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна!

 k ·  r - t =  k  ·  r  - t.

В декартовых координатах это условие принимает вид:

kx x +ky y + kz z - t = kx x +ky y + kz z -  t.

(24)

Поскольку x, y, z, t связаны с x^, y^, z^, t^ преобразованием Лоренца , то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования

 = - V kx ________ 1 - V2/c2 , kx = kx - V/c2  ________ 1 - V2/c2 , ky = ky, kz = kz.

(25)

Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить его выполнение.

Найдем теперь связю между частотой ₀ в системе источника волны и частотой  той же волны в системе наблюдателя.

Полагая в первой формуле из (25) ^ = ₀, k_x = [()/( c)] cos, где - угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя (приемника), найдем

 = 0 ________ 1 - V2/c2 1 - (V/c)cos .

(26)

Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника.

Характеристики

Список файлов реферата