77651-1 (630103), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

s

---

ns

(если он является главным функтором) должны, во-первых, соответствовать два аргумента, и во-вторых, первый аргумент должен принадлежать к категории имен, а второй - к категории предложений. Насквозь правильно составленное выражение, которое удовлетворяет обоим выше приведенным условиям, назовем выражением синтаксически связанным.

Эти условия можно еще иначе и более прецизионно сформулировать при помощи нашей символики индексов. С этой целью мы должны ввести понятие показателя выражения, которое и объясним сначала на примере. Возьмем, например, выражение

p \/ p. --->. p и присоединим к отдельным простым выражениям их индексы. Получим:

p \/ p. --->. p ..........................(A)

s s

s----s ---- s.

ss ss

Сейчас члены этого выражения упорядочим согласно следующему принципу. Сначала напишем главный функтор всего выражения, затем последовательно первый, потом второй (возможно третий, четвертый и т.д.) аргумент. Тогда получим:

---->, p\/p, p ............................(B)

s s

----- s---s s .

ss ss

Если какой-то входящий в эту последовательность член все еще остается составным выражением главного функтора и его аргументов, то этот член мы раскладываем на члены ближайшего высшего ряда и упорядочиваем их по тому же принципу, записывая сначала его главный функтор, затем первый, второй и т.д. аргументы этого функтора.

Для нашего примера мы получим:

---->, \/, p, p, p ..........................(C)

s s

---- ---- s s s .

ss ss

Если бы в этой последовательности нашелся еще один составленный из нескольких выражений член, то мы разложили бы его по тому же принципу и продолжали бы так поступать до тех пор, покаместь не получили бы в этой последовательности такие части, которые были бы только простыми выражениями. Последовательность простых выражений, входящих в состав данного составного выражения, упорядоченного выше описанным способом, мы называем ХАРАКТЕРНОЙ [eigentliche] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ выражений , входящих в состав этого выражения. Для нашего примера характерная последовательность выражений оказалась достигнутой уже на втором шаге, т.е. (С) является характерной последовательностью выражений для выражения (А). Если сейчас от выражений, упорядоченных свойственной выражению (А) последовательностью, мы оторвем их индексы и выпишем их в той же очередности, то получим т.н. ХАРАКТЕРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИНДЕКСОВ для выражения (А).

Итак, характерная последовательность индексов выражения (А) имеет следующий вид:

s s

----- ----s s s . .........................(1)

ss ss

Сейчас, идя слева направо, посмотрим, найдем ли мы в этой последовательности индексов такое сомкнутое сочетание индексов, которое на первом месте имеет индекс в виде дроби, после которого непосредственно следуют такие индексы, которые входят в знаменатель этого дробного индекса. Если мы найдем одно или несколько таких сочетаний, то вычеркиваем первое из них (идя слева направо) в последовательности индексов и заменяем числителем дробного индекса. Полученную таким образом новую последовательность индексов назовем первой производной характерной последовательности индексов данного выражения (А). Для нашего примера она имеет вид:

s

---- s s . ............................. (2)

ss

Первая производная - это дробный индекс, после которого непосредственно следует такое же сочетание индексов как то, которое образует знаменатель этого дробного индекса. Мы можем приведенным выше способом ее преобразовать, образуя вторую производную, которая имеет вид простого индекса

s ....................................(3)

и которую, поскольку она не ведет к новым производным, назовем последней производной характерной последовательности индексов выражения (А).

Последнюю производную характерной последовательности индексов данного выражения назовем ПОКАЗАТЕЛЕМ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ.

Определим еще показатель сформулированного в естественном языке предложения на стр.???. Его характерная последовательность индексов и его очередные производные представляются следующим образом:

s

---

n

---

s s

--- ---

s n n s s

--- ----- ---- -- n --- n (характерная последовательность

ss s s n n индексов)

--- ---

n n

----

s

---

n

s

---

s n s s

--- ----- -- n --- n ( 1. производная)

ss s n n

---

n

s s s

--- --- n -- n ( 2. производная)

ss n n

s s

--- s ---n ( 3. производная)

ss n

s

--- s s ( 4. производная)

ss

s ( 5. и последняя производная).

Теперь мы можем привести определение: выражение является синтаксически связанным тогда и только тогда, когда 1] оно насквозь правильно составлено, 2] каждому входящему в это выражение функтору в качестве главного функтора некоторой ступени соответствует ровно столько аргументов, сколько букв содержит знаменатель его индекса и 3] оно имеет показатель, который является единичным индексом 4).

Этот индекс может иметь вид единичной литеры, однако может иметь и вид дроби. Так, например, выражение

пахнет очень сильно

s s s

- - --

n n n

- --

s s

- -- ,

n n

-

s

-

n

-

s

-

n

характерной последовательностью индексов которых является

s

-

n

-

s s

- -

n n s

- - -

s s n

- -

n n

-

s

-

n

s

имеет в качестве показателя дробный индекс --- .

n

Как пример синтаксически несвязанного выражения приведем следующее сочетание слов:

F (ф) :: ~ ф (ф)

s s s s s s

-- -- -- -- -- --

s n ss s n n

--

n

Характерной последовательностью индексов этого выражения и его производными являются:

s s s s s s s s s s

-- -- -- -- -- -- --s -- -- --

ss s n s n n ss s n s

---

n

Первая производная, которая здесь является одновременно и последней, образует показатель, который, как легко заметить, состоит из нескольких индексов. Таким образом, приведенное выражение не является синтаксически связанным (исследованное в этом примере сочетание слов образует известное "определение", которое приводит к расселловской антиномии класса классов, не содержащих самих себя в качестве элементов).

Показатель синтаксически связанного выражения представляет категорию значения, к которой принадлежит это составное выражение как целое.

6. Символика, которая связала бы с отдельными словами их индексы, не потребовала бы скобок или иных средств с тем, чтобы указывать расчленение ее синтаксически связанных выражений (взаимную принадлежность функторов и их аргументов). Для этого было бы достаточно строго придерживаться той очередности слов, согласно которой определена очередность индексов в характерной последовательности индексов этого выражения. Это значит, что нужно бы таким образом упорядочить слова каждого составного выражения, чтобы они следовали друг за другом по принципу: сначала главный функтор, затем его первый, потом второй и т.д. аргументы.

Например, предложение, записанное в символике Расселла следующим образом:

p.q. --->.r::~ r.q.-->~ p ......................(A) должно было бы согласно этому принципу быть записано так:

1

-------+-------

5 ¦ 3 4 ¦

--+- ----+---- -+-

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

--> . p q r ---> . ~ r q ~ p .............(B)

s s s s s s s s s s

--- --- -- --- --- -- s s -- s

ss ss ss ss ss s s

¦ ¦

L-----------T-------------

2

Назовем функтор n-аргументным, если знаменатель его индекса содержит n индексов. Тогда можно сказать, что выражение A тогда и только тогда является k-ым аргументом n-аргументного функтора F в выражении В, когда: I. из выражения В можно выделить не содержащую пропусков часть T, следующую непосредственно после F с правой стороны, причем показатель этой части имеет тот же вид, что и знаменатель показателя F, II. эту часть Т удается без остатка разложить на n составных частей, не содержащих дальнейших пропусков таким образом, что показатели этих последующих составных частей поочередно те же, что очередные индексы в знаменателе индекса F, III. A является k-ой среди этих последующих составных частей, IV. F и T совместно образуют целое выражение В или член В (если быть точным, это пояснение следовало бы заменить определением по индукции).

Согласно этому пояснению часть выражения В, обозначенная цифрой 3 является первым, часть обозначенная цифрой 4 - вторым аргументом знака импликации, обозначенного цифрой 5 в выражении В, ибо: I. из выражения В можно выделить часть, обозначенную цифрой 1 и не содержащую пропусков, непосредственно связанную с правой стороны с частью, обозначенной цифрой 5, причем показатель обозначенного цифрой 1 выражения имеет тот же вид, что и знаменатель индекса 5, II. часть, обозначенную цифрой 1, можно разделить без остатка на такие две части, которые не содержат пропусков и показатели которых поочередно являются такими же, что и индексы, содержащиеся в знаменателе индекса 5, причем III. часть, обозначенная цифрой 3, является первой, а часть, обозначенная цифрой 4 - второй, и IV.части, обозначенные цифрами 5 и 1 совместно образуют член выражения В.

Преимущество такой символики индексов, благодаря которой оказываются излишними все скобки, может показаться незначительным, если принимать во внимание примеры только предложений пропозиционального исчисления. Для исчисления предложений проф.Лукасевич ввел символику, которая, даже без помощи индексов, не требует никаких скобок либо подобных вспомогательных знаков для сигнализирования состава синтаксически связанных выражений 5).

Возможность устранения скобок без введения индексов в этом случае объясняется тем, что в исчислении высказываний используется небольшое (практически не больше трех) число категорий значения, причем все переменные принадлежат только к одной категории значения, а число постоянных ограничено, благодаря чему категорию значения данного выражения можно отметить посредством выделения какой-то подробности его строения. В этом случае правила построения можно попросту вычислить. Однако когда мы имеем дело с громадным, теоретически не ограниченным числом различных категорий значения, мы вынуждены прибегнуть к тому систематическому способу обозначения различных категорий значения, каковым является наша символика индексов.

Проводимые до настоящего времени исследования относились только к выражениям, не содержащим операторов (см. ниже $ 7). Сейчас мы займемся такими выражениями, в которые входят операторы.

II.

7. Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка, благодаря тому значению, каким оно обладает, можно причислить к определенной категории значения и таким образом снабдить его соответствующим индексом. Все составные выражения можно анализировать по схеме "функторы и их аргументы" только тогда, когда это предположение выполнено. Для некоторых языков это предположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, для некоторых символических языков оно не выполняется. Здесь мы имеем в виду такие языки, в которых используются т.н. операторы. Этот термин охватывает такие знаки, как например, логический знак всеобщности вида "(Пx)" или "(x)", называемый также квантификатором общности 6), затем логический знак существования или частичный квантификатор "(Еx)", затем алгебраический знак суммирования (сигма в пределах от к=1 до n - Б.Д.), знак произведения "П" (в пределах от x=1 до 100 - Б.Д.), знак определенного интеграла (dx от 0 до 1 - Б.Д.) и т.п. Все эти знаки имеют одно общее свойство: они всегда относятся к выражениям, содержащим одну или более переменных и низводят одну или более из них к роли мнимой переменной. Таким образом, если оператор относится, например, к выражению, содержащему только одну переменную, то возникает сложное выражение, имеющее определенное значение.

Так, например, выражения "(Еx).x есть человек", "Ex¤(знак суммирования сигма в пределах от x=1 до 10 - Б.Д.) имеют определенные значения, хотя в них и входят переменные. Благодаря оператору эти переменные становятся мнимыми переменными, или же, говоря иначе, переменными, связанными оператором.

Итак, разложение содержащего оператор выражения на функторы и их аргументы, категории значения которых были бы взаимно согласованы, например, общего предложения "(Пx).fx", кажется, встречается с непреодолимыми трудностями.

Не вникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)" сразу отбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксического строения общего предложения "(Пx).fx", согласно которой в таком предложении оператор "(Пx)" играл бы роль главного функтора, а принадлежащая ему пропозициональная функция - роль его аргумента. Если бы этот синтаксический анализ общего предложения соответствовал действительности, то нужно было бы причислить квантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которые с одним предложением в качестве своего аргумента образуют предложение и таким образом принадлежат к категории s/s. Однако следует заметить, что в экстенсиональной логике функтор типа s/s должен быть истинностнозначным (truth functor). Тем самым пробег его значений должен соответствовать одной из четырех таблиц:

p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p

---+--- ---+--- ---+--- ----+----

0 ¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0

--+--- --+--- --+--- ---+----

Характеристики

Список файлов курсовой работы