183893 (629958), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Алгоритм выполнения дискриминантного анализа включает основные этапы:

1. Исходные данные представляются либо в табличной форме в виде q подмножеств (обучающих выборок) M_k и подмножества М₀ объектов подлежащих дискриминации, либо сразу в виде матриц X⁽¹⁾, X⁽²⁾, ..., X^(q), размером (n_k×p):

Таблица 1

Номер подмножества Mk (k = 1, 2, ..., q)	Номер объекта, i (i = 1, 2, ..., nk)	Свойства (показатель), j (j = 1, 2, ..., p)
		x1	x2	…	x0
Подмножество M1 (k = 1)	1			…
	2			…
	…	…	…	…	…
	n1			…
Подмножество M2 (k = 2)	1			…
	2			…
	…	…	…	…	…
	n2			…
…	…	…	…	…	…
Подмножество Mq (k = q)	1			…
	2			…
	…	…	…	…	…
	nq			…
Подмножество M0, подлежащее дискриминации	1			…
	2			…
	…	…	…	…	…
	m			…

где X^(k) - матрицы с обучающими признаками (k = 1, 2, ..., q),

X⁽⁰⁾ матрица новых m-объектов, подлежащих дискриминации (размером m×p),

р — количество свойств, которыми характеризуется каждый i-й объект.

Здесь должно выполняться условие: общее количество объектов N множества М должно быть равно сумме количества объектов m (в подмножестве M₀), подлежащих дискриминации, и общего количества объектов в обучающих подмножествах: , где q - количество обучающих подмножеств (q≥2). В реальной практике наиболее часто реализуется случай q=2, поэтому и алгоритм дискриминантного анализа приведен для данного варианта.

2. Определяются элементы векторов средних значений по каждому j-му признаку для i объектов внутри k-го подмножества (k = 1, 2):

Результаты расчета представляются в виде векторов столбцов :

3. Для каждого обучающего подмножества рассчитываются ковариационные матрицы S^(k) (размером p×p):

4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица по формуле:

5. Рассчитывается матрица обратная к объединенной ковариационной матрице :

где | |— определитель матрицы , (причем ), - присоединенная матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы .

6. Рассчитывается вектор-столбец дискриминантных множителей с учетом всех элементов обучающих подмножеств по формуле:

Данная расчетная формула получена с помощью метода наименьших квадратов из условия обеспечения наибольшего различия между дискриминантными функциями. Наилучшее разделение двух обучающих подмножеств обеспечивается сочетанием минимальной внутригрупповой вариации и максимальной межгрупповой вариации.

7. По каждому i-му объекту (i = 1, 2, ..., N) множества М определяется соответствующее значение дискриминантной функции:

8. По совокупности найденных значений F^(k) рассчитываются средние значения для каждого подмножества M_k:

9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций

10. Выполняется распределение (дискриминация) объектов подмножества М₀ подлежащих дискриминации по обучающим выборкам М₁ и М₂. С этой целью рассчитанные и п. 7 по каждому i-му объекту значения дискриминантных функций

сравниваются с величиной общего среднего. На основе сравнения данный объект относят к одному из обучающих подмножеств.

Если , то i-й объект подмножества М₀ относят к подмножеству М₁, при >0 и к подмножеству М₂ при <0. Если же < , то заданный объект относят к подмножеству М₁, при < 0 и к подмножеству М₂ в противном случае.

11. Далее делается оценка качества распределения новых объектов, для чего оценивается вклад переменных в дискриминантную функцию.

Влияние признаков на значение дискриминантной функции и результаты классификации может оцениваться по дискриминантным множителям (коэффициентам дискриминации), по дискриминантным нагрузкам признаков или по дискриминантной матрице.

Дискриминантные множители зависят от масштабов единиц измерения признаков, поэтому они не всегда удобны для оценки.

Дискриминантные нагрузки более надежны в оценке признаков, они вычисляются как парные линейные коэффициенты корреляции между рассчитанными уровнями дискриминантной функции F и признаками, взятыми для ее построения.

Дискриминантная матрица характеризует меру соответствия результатов классификации фактическому распределению объектов по подмножествам и используется для оценки качества анализа. В этом случае дискриминантная функция F формируется по данным объектов (с измеренными p признаками) обучающих подмножеств, а затем проверяется качество этой функции путем сопоставления фактической классовой принадлежности объектов с той, что получена в результате формальной дискриминации.

2. ПРИМЕРЫ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА

3.1 Применение дискриминантного анализа при наличии двух обучающих выборок (q=2)

Имеются данные по двум группам промышленных предприятий отрасли: Х₁ - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. д.ед.; Х₂ — среднесписочная численность персонала, тыс. чел.; Х₃ — балансовая прибыль млн. д.ед.

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

Номер группы Mk (k =1, 2)	Номер предприятия, i (i = 1, 2, ..., nk)	Свойства (показатель), j (j = 1, 2, ..., p)
		Х1		Х2		Х3
Группа 1, M1 (k = 1)	1	224,228		17,115		22,981
	2	151,827		14,904		21,481
	3	147,313		13,627		28,669
	4	152,253		10,545		10,199
Группа 2, M2 (k = 2)	1	46,757		4,428		11,124
	2	29,033		5,51		6,091
	3	52,134		4,214		11,842
	4	37,05		5,527		11,873
	5	63,979		4,211		12,860
Группа предприятий M0, подлежащих дискриминации	1	55,451	9,592		12,840
	2	78,575	11,727		15,535
	3	98,353	17,572		20,458

Необходимо провести классификацию (дискриминацию) трех новых предприятий, образующих группу М₀ с известными значениями исходных переменных.

Решение:

1. Значения исходных переменных для обучающих подмножеств M₁ и M₂ (групп предприятий) записываются в виде матриц X⁽¹⁾ и X⁽²⁾ :

и для подмножества M₀ группы предприятий, подлежащих классификации в виде матрицы X⁽⁰⁾:

Общее количество предприятий, составляющих множество М, будет равно N = 3+4+5 = 12 ед.

2. Определяются элементы векторов средних значений по j признакам для i-х объектов по каждой k-й выборке (k = 1, 2), которые представляются в виде двух векторов (по количеству обучающих выборок):

3. Для каждого обучающего подмножества M₁ и M₂ рассчитываются ковариационные матрицы S_k (размером р×р):

4. Рассчитывается объединенная ковариационная матрица:

5. Рассчитывается матрица обратная к объединенной ковариационной матрице:

6. Рассчитываются дискриминантные множители (коэффициенты дискриминантной функции) по всем элементам обучающих подмножеств:

7. Для каждого i-го объекта k-го подмножества М определяется значение дискриминантной функции:

F₁⁽¹⁾=0,104743×224,228+2,046703×17,115+(-0,13635)×22,981=55,38211;

F₂⁽¹⁾=0,104743×151,827+2,046703×14,904+(-0,13635)×21,481=43,47791;

F₃⁽¹⁾=0,104743×147,313+2,046703×13,627+(-0,13635)×28,669=39,41138;

F₄⁽²⁾=0,104743×152,253+2,046703×10,545+(-0,13635)×10,199=36,13924;

F₁⁽²⁾=0,104743×46,757+2,046703×4,428+(-0,13635)×11,124=12,44351;

………………………………………………………………………………..

F₅⁽²⁾=0,104743×63,979+2,046703×4,211+(-0,13635)×12,860=13,56655.

8. По совокупности найденных значений F^(k) рассчитываются средние значения для каждого подмножества M_k:

9. Определяется общее среднее (константа дискриминации) для дискриминантных функций:

10. Выполняется распределение объектов подмножества М₀ по обучающим подмножествам М₁ и М₂, для чего по каждому объекту (i = 1, 2, 3) рассчитываются дискриминантные функции:

F₁⁽⁰⁾=0,104743×55,451+2,046703×9,592+(-0,13635)×12,840=23,68661

F₂⁽⁰⁾=0,104743×78,575+2,046703×11,727+(-0,13635)×15,535=30,11366

F₃⁽⁰⁾=0,104743×98,353+2,046703×17,572+(-0,13635)×20,458=23,68661

Затем рассчитанные значения дискриминантных функций F⁽⁰⁾ сравниваются с общей средней F=28,3556.

Поскольку , то i-й объект подмножества М₀ относят к подмножеству М₁ при > 0 и к подмножеству М₂ при <0. С учетом этого в данном примере предприятия 2 и 3 подмножества М₀ относятся к М₁, а предприятие 1 относится к М₂.

Если бы выполнялось условие , то объекты М₀ относились к подмножеству М₁, при и к подмножеству М₂ в противном случае.

11. Оценку качества распределения новых объектов выполним путем сравнения с константой дискриминации F значений дискриминантных функций F_i^(k)=обучающих подмножеств М₁ и М₂. Поскольку для всех найденных значений выполняются неравенства , и , то можно предположить о правильном распределении объектов и уже существующих двух классах и верно выполненной классификации объектов подмножества М₀.

3.2 Пример решения задачи дискриминантным анализом в системе STATISTICA

Исходя из данных по 10 странам (рис. 3.1), которые были выбраны и отнесены к соответствующим группам экспертным методом (по уровню медицинского обслуживания), необходимо по ряду показателей классифицировать еще две страны: Молдавия и Украина.

Исходными показателями послужили:

Х1 – Количество человек, приходящихся на одного врача;

Х2 – Смертность на 1000 человек;

Х3 – ВВП, рассчитанный по паритету покупательной способности на душу населения (млн. $);

Х4 – Расходы на здравоохранение на душу населения ($).

Уровень медицинского обслуживания стран подразделяется на:

- высокий;

- средний (удовлетворительный);

- низкий.

	Кол-во чел. на 1 врача	Расх. на здрав.	ВВП	Смертность	Класс
Азербайджан	256	99	3000	9,6	низкий
Армения	198	152	3000	9,7	низкий
Белоруссия	222	157	7500	14	высокий
Грузия	182	152	4600	14,6	удовлетворительный
Казахстан	265	154	5000	10,6	удовлетворительный
Киргизия	301	118	2700	9,1	низкий
Россия	235	159	7700	13,9	высокий
Таджикистан	439	100	1140	8,6	низкий
Туркмения	320	125	4300	9	удовлетворительный
Узбекистан	299	116	2400	8	низкий

Рис. 3.1

Используя вкладку анализ, далее многомерный разведочный анализ, необходимо выбрать дискриминантный анализ. На экране появится панель модуля дискриминантный анализ, в котором вкладка переменные позволяет выбрать группирующую и независимые переменные. В данном случае группирующая переменная 5 (класс), а независимыми переменными выступят 1-4 (кол-во человек на 1 врача; расходы на здравоохранение; ВВП на душу населения; смертность).

В ходе вычислений системой получены результаты:

Вывод результатов показывает:

- число переменных в модели – 4;

- значение лямбды Уилкса – 0,0086739;

- приближенное значение F – статистики, связанной с лямбдой Уилкса – 9,737242;

- уровень значимости F – критерия для значения 9,737242.

Значение статистики Уилкса лежит в интервале [0,1]. Значения статистики Уилкса, лежащие около 0, свидетельствуют о хорошей дискриминации, а значения, лежащие около 1, свидетельствуют о плохой дискриминации. По данным показателя значение лямбды Уилкса, равного 0,0086739 и по значению F – критерия равного 9,737242, можно сделать вывод, что данная классификация корректная.

В качестве проверки корректности обучающих выборок необходимо посмотреть результаты матрицы классификации (рис. 3.2).

Матрица классификации . Строки: наблюдаемые классы Столбцы: предсказанные классы
	Процент	низкий	высокий	удовлетв
низкий	100,0000	5	0	0
высокий	100,0000	0	2	0
удовлетв	100,0000	0	0	3
Всего	100,0000	5	2	3

Рис. 3.2

Из матрицы классификации можно сделать вывод, что объекты были правильно отнесены экспертным способом к выделенным группам. Если есть объекты, неправильно отнесенные к соответствующим группам, можно посмотреть классификацию наблюдений (рис.3.3).

Классификация наблюдений. Неправильные классификации отмечены *
	Наблюд.	1	2	3
Азербайджан	низкий	низкий	удовлетв	высокий
Армения	низкий	низкий	удовлетв	высокий
Белоруссия	высокий	высокий	низкий	удовлетв
Грузия	удовлетв	удовлетв	низкий	высокий
Казахстан	удовлетв	удовлетв	низкий	высокий
Киргизия	низкий	низкий	удовлетв	высокий
Россия	высокий	высокий	низкий	удовлетв
Таджикистан	низкий	низкий	удовлетв	высокий
Туркмения	удовлетв	удовлетв	низкий	высокий
Узбекистан	низкий	низкий	удовлетв	высокий

Рис. 3.3

В таблице классификации наблюдений, некорректно отнесенные объекты помечаются звездочкой (*). Таким образом, задача получения корректных обучающих выборок состоит в том, чтобы исключить из обучающих выборок те объекты, которые по своим показателям не соответствуют большинству объектов, образующих однородную группу.

В результате проведенного анализа общий коэффициент корректности обучающих выборок должен быть равен 100% (рис. 3.2).

На основе полученных обучающих выборок можно проводить повторную классификацию тех объектов, которые не попали в обучающие выборки, и любых других объектов, подлежащих группировке.

Для этого необходимо в окне диалогового окна результаты анализа дискриминантных функций нажать кнопку функции классификации. Появится окно (рис. 3.4), из которого можно выписать классификационные функции для каждого класса.

Функции классификации
	низкий	высокий	удовлетв
Кол-во чел на 1 врача	1,455	2,35	1,834
Расх на здрав	1,455	1,98	1,718
ВВП	0,116	0,20	0,153
Смертность	29,066	46,93	36,637
Конст-та	-576,414	-1526,02	-921,497

Рис. 3.4

Таблица 3

Классификационные функции для каждого класса

Низкий класс	= -576,414+1,455*кол-во чел на 1 врача+1,455*расх на здра+0,116*ВВП+29,066*смертность
Высокий класс	=-1526,02+2,35*кол-во чел на 1 врача+1,98*расх на здрав+0,20*ВВП+46,93*смертность
Удовлетворительный класс	=-921,497+1,834*кол-во чел на 1 врача+1,718*расх на здра+0,153*ВВП+36,637*смертность

С помощью этих функций можно будет в дальнейшем классифицировать новые случаи. Новые случаи будут относиться к тому классу, для которого классифицированное значение будет максимальное.

Необходимо определить принадлежность стран Молдавия и Украина, подставив значения соответствующих показателей в формулы (Таблица 4).

Таблица 4

Страна	Кол-во человек на 1 врача	Расходы на здравоохранение	ВВП на душу населения	Смертность	Высокий	Низкий	Удовлетворительный	Класс
Молдавия	251	143	2500	12,6	438,29	653,09	628,64	Низкий
Украина	224	131	3850	16,4	880,23	863,39	904,27	Удовл.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был рассмотрен такой метод многомерного статистического анализа как дискриминантный. В дискриминантном анализе изучены: основные понятия, цели и задачи дискриминантного анализа. А также определение числа и вида дискриминирующих функций, и классификация объектов с помощью функции расстояния.

Для данного метода приведены примеры решения задач с использованием ППП STATISTICA.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Баранова, Т.А. Многомерные статистические методы. Корреляционный анализ. [Текст]: Метод. указания / Иван. гос. хим.-технол. ун-т. / Т.А. Баранова. – Иваново, 9 - 40 с.

2. Буреева, Н.Н. Многомерный статистический анализ с использованием ППП “STATISTICA” [Текст] / Н.Н. Буреева. - Нижний Новгород, 2007. -112с.

3. Дубров, А.М. Многомерные статистические методы и основы эконометрики. [Текст]: Учебное пособие / А.М. Дубров. - М.: МЭСИ, 2008.- 79 с.

4. Калинина, В.Н. Введение в многомерный статистический анализ [Текст]: Учебное пособие / В.Н. Калинина.- ГУУ. – М., 2010. – 66 с.

Характеристики

Список файлов курсовой работы