183530 (629861), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

dp₂ /dt= p₁ λ ₁₂ +p₂ λ_{21 .}

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО S_i в функции времени p_i(t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S₀ – равна p₀ ⁼ 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S_o. Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р₀ = 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S_o и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность р_i рассматриваемого состояния Si умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) изданного состояния S_i систему, а справа от знака равенства — сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние Si систему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1: _n

Σp_i(t)=1

ⁱ⁼¹

Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний S_o, S₁, S₂ рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:

Для состояния S_o→ p₀ λ ₀₁ = p₁ λ ₁₀

Для состояния S₁→ p₁ (λ₁₀ +λ₁₂) = p₀ λ ₀₁ +p₂ λ₂₁

Для состояния S₂→ p₂ λ₂₁ = p₁ λ ₁₂

p₀ +p₁ +p₂ =1

dp ₄(t) /dt= λ₃₄ p₃(t) - λ₄₃ p₄(t) ,

p₁(t)+ p₂(t)+ p₃(t)+ p₄(t)=1 .

К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S_1, то начальные условия можно записать так:

p₁(0)=1, p₂(0)= p₃(0)= p₄(0)=0 .

Переходы между состояниями СМО происходит под воздействием поступления заявок и их обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени Δ t, т.е. величиной элемента вероятности перехода λ_ij Δ t, где λ_ij — интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния i в состояние i (по соответствующей стрелке на графе состояний).

Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто, определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:

p_i(t), p₂(t),…., p_n(t) .

Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функции времени ведут себя таким образом, что существует

lim p_i(t) = p_i (i=1,2,…,n) ; t→∞

независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при t->∞ и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои, состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислить предельные вероятности состояния р_i можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при t-> ∞ зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему Обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.

1. Процессы «рождения – гибели»

Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкое применение при построении математических моделей в областях демографии, биологии, медицины (эпидемиологии), экономики, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы «рождения - гибели», марковские процессы со стохастическими графами состояний следующего вида:

λ ₀ λ₁ λ₂ λ₃ λ_n-1

μ₀ μ₁ μ₃ μ₄ μ_n-1

Рис. 2.1 Размеченный граф процесса «рождения - гибели»

Этот граф воспроизводит известную биологическую интерпретацию: величина λ_k отображает интенсивность рождения нового представителя некоторой популяции, например, кроликов, причем текущий объем популяции равен k; величина μ является интенсивностью гибели (продажи) одного представителя этой популяции, если текущий объем популяции равен k. В частности, популяция может быть неограниченной (число n состояний марковского процесса является бесконечным, но счетным), интенсивность λ может быть равна нулю (популяция без возможности возрождения), например, при прекращении воспроизводства кроликов.

Для Марковского процесса «рождения - гибели», описанного стохастическим графом, приведенным на рис. 2.1, найдем финальное распределение. Пользуясь правилами составления уравнений для конечнего числа n предельных вероятностей состояния системы S₁, S₂, S₃,… S_k,…, S_n, составим соответствующие уравнения для каждого состояния:

для состояния S₀-λ₀p₀=μ₀p₁;

для состояния S₁-(λ₁+μ₀)p₁= λ₀p₀+μ₁p₂, которое с учетом предыдущего уравнения для состояния S₀ можно преобразовать к виду λ₁р₁= μ₁p₂.

Аналогично можно составить уравнения для остальных состояний системы S₂, S₃,…, S_k,…, S_n. В результате получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Следует заметить, что в формулы определения финальных вероятностей состояний р₁, р₂, р₃,…, р_n, входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей р₀. В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева на право до рассматриваемого состояния S_k, а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа на лево до рассматриваемого состояния S_k, т.е. μ₀, μ₁, μ₂, μ₃,… μ_k. В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

к=1,n

1. Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболее удачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимо тщательно проводить наблюдение за процессом в системе, поиска и выявления существенных связей, формирования проблемы, выделения цели, определения показателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этом случае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступать затраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающей системы, а с другой – затраты заявок, которые могут иметь разную по своему физическому содержанию природу.

Повышение эффективности в любой сфере деятельности К. Маркс в конечном счете рассматривал как экономию времени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал, что экономия времени, равно как и планомерное распределение рабочего времени по различным отраслям производства, остается первым экономическим законом на основе коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферах общественной деятельности.

Для товаров, в том числе и денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективности связан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивность поступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясь экономическими показателями коммерческой деятельности, характеризирует эффективность использования средств, вложенных в товарные запасы. Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарного запаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаны известным моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязь этих и других показателей коммерческой деятельности с временными характеристиками.

Следовательно, эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается из совокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же время для населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина, столовой, кафе, ресторана, ожидание начало обслуживания, ознакомление с меню, выбор продукции, расчет и т.д. Проведенные исследования структуры затрат времени населения свидетельствует о том, что значительная его часть расходуется нерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счете направлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделирования СМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операции обслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связи показателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известные экономические показатели, такие как товарооборот, прибыль, издержки обращения, рентабельность и другие, увязывать в экономико-математических моделях с дополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификой обслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массового обслуживания.

Например, особенностями показателей СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди Т_оч=0, поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно, то L_оч=0 и, следовательно, вероятность ее образования Р_оч=0. По числу заявок k определятся режим работы системы, ее состояние: при k=0 – простой каналов, при 1n – обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_отк, вероятность обслуживания Р_обс, среднее время простоя канала t_пр, среднее число занятых n_з и свободных каналов n_св, среднее обслуживания t_обс, абсолютная пропускная способность А.

Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Р_обс=1, поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены, т.е. формально L_оч→∞ и Т_оч→∞. В системах возможны следующие режимы работы: при k=0 наблюдается простой каналов обслуживания, при 1n – обслуживание и очередь. Показателями таких эффективности таких СМО являются среднее число заявок в очереди L_оч, среднее число заявок в системе k, среднее время пребывания заявки в системе Т_смо, абсолютная пропускная способность А.

В СМО с ожиданием с ограничением на длину очереди, если число заявок в системе k=0, то наблюдается простой каналов, при 1n+m- обслуживание, очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_отк- вероятность обслуживания Р_обс, среднее число заявок в очереди L_оч, среднее число заявок в системе L_смо среднее время пребывания заявки в системе Т_смо, абсолютная пропускная способность А.

Таким образом, перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом: среднее время обслуживания – t_обс; среднее время ожидания в очереди – Т_оч; среднее пребывания В СМО – Т_смо; средняя длина очереди - L_оч; среднее число заявок в СМО- L_смо; количество каналов обслуживания – n; интенсивность входного потока заявок – λ; интенсивность обслуживания – μ; интенсивность нагрузки – ρ; коэффициент нагрузки – α; относительная пропускная способность – Q; абсалютная пропускная способность – А; доля времени простоя в СМО – Р₀; доля обслуженных заявок – Р_обс; доля потерянных заявок – Р_отк, среднее число занятых каналов – n_з; среднее число свободных каналов - n_св; коэффициент загрузки каналов – К_з; среднее время простоя каналов - t_пр.

Характеристики

Список файлов курсовой работы