Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-веса.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).

Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 4

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где

x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 5

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀ имеет место правосторонняя асимметрия. Если же 0 - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенная численность рабочих является порядка 467,6 чел. В то же время более половины предприятий имеют численность рабочих более 496,6 чел., при среднем уровне 510 чел. чел. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по численности промышленно - производственного персонала.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

Расчетная часть

Задание:

1. Определите, по первичным данным таблицы №7(в методическом указании №5.2) среднегодовую стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие.

2. Постройте статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и их удельным весом.

По ряду распределения (п.2) рассчитайте среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака:

а) по числу предприятий;

б) по удельному весу предприятий.

Сравните полученную среднюю с п.1, поясните их расхождение.

3. Имеются данные о финансовых показателях предприятий фирмы за отчетный период (таблица №6):

Таблица 6

Определите средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы, используя показатели:

а) гр.1 и гр. 2; в) гр.1 и гр.3;

б) гр.2 и гр. 3; г) гр.3 и гр.4.

Таблица 7

Решение:

1. Для определения среднегодовой стоимости основных производственных фондов в расчете на одно предприятие воспользуемся формулой средней арифметической простой (т.к. имеются индивидуальные несгруппированные значения признака),

где x₁,x₂,…x_n - среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n – число предприятий.

=42 (млн.руб.),

где x₁=27,x₂=46,…x₃₀=28 - среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n =30 – число предприятий.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие равна 42 млн.руб.

2. Для построения статистического ряда распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением 4 групп найдем величину равного интервала:

Величина равного интервала определяется по формуле:

,

где x_max и x_min – максимальное и минимальное значение признака, n – число групп.

где x_max=60, x_min=20 - максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.)

n=4 – группы предприятий.

Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака в группе получим следующие группы предприятий по значению среднегодовой стоимости основных производственных фондов (табл. 8)

Таблица 8

а) По ряду распределения рассчитаем среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по числу предприятий (табл. 9):

Таблица 9

Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, выразим варианты одним (дискретным) числом, которое найдем как среднюю арифметическую простую из верхнего и нижнего значений интервала (центр интервала – x`).

; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их количество, - общее число предприятий.

= млн.руб.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по числу предприятий равна: 41,33 млн.руб.

б) По ряду распределения рассчитаем среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по удельному весу предприятий (табл.10):

Таблица 10

Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, в качестве весов используем относительную величину (d) (удельный вес):

; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их удельный вес, =1.

4,17+9,33+15+12,83 = 41,33 млн.руб.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по удельному весу предприятий равна: 41,33 млн.руб.

При сравнении полученных в п.2 результатов средней с результатом, полученным в п.1 обнаруживаем небольшое расхождение, которое объясняется тем что в первом случае расчет проводился по формуле средней арифметической простой в расчете на одно предприятие, а во втором случае по формуле средней арифметической взвешенной по ряду распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением четырех групп (интервалов). Для вычислений мы использовали средние значения в интервале (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы.

3.

Таблица 11

а) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (табл.11) т.к. дано значение общего объема (М=xf), и частота (f),но нет сведений о значениях признака (вариант) (x).

,где - общая прибыль, - общий акционерный капитал.

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

б) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (табл.11) т.к. даны единичные значения признака (вариант) (x) и частота(f).

,где - сумма произведений акционерного капитала на его процент рентабельности, - общий акционерный капитал.

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

в) Расчет будем производить по формуле средней гармонической взвешенной (табл.11) т.к. дано значение общего объема (М=xf), но нет сведений о частотах (f). , т.е. Акционерный капитал = .

, где - общая прибыль, - общий акционерный капитал.

0,287 (28,7%)

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

г) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (таблица№11) т.к. даны единичные значения признака (вариант) (x) и относительная величина – удельный вес (d). , где - доля каждой частоты в общей сумме всех частот, (проценты заменим коэффициентами).

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

При вычислении среднего процента рентабельности акционерного капитала фирмы, используя различные показатели, получаем один результат, что подтверждает правильность решения.

Аналитическая часть.

В данной части курсовой работы проведены аналитические исследования в области дифференциации заработной платы с использованием средних величин, на примере Республики Коми. Все используемые данные взяты за 2001г. В ходе исследования использовались такие программные продукты, как MS Word и MS Excel.

На начало 2001 г. в республике насчитывалось 2,7 тыс. крупных и средних предприятий, представивших данные о заработной плате, которая в январе в среднем составила 4,6 тыс. рублей. На этих предприятиях работало 375 тыс. человек, или три четверти занятого населения, или половина трудоспособного населения.

Данные статистических наблюдений сообщают информацию только о средней по предприятию заработной плате. Однако если взвесить среднюю заработную плату на численность работающих, то есть условно распространить среднюю зарплату по предприятию на каждого, работающего на этом предприятии, то можно проследить дифференциацию оплаты труда по предприятиям.

Оценить общую картину распределения значений заработной платы позволяет гистограмма (рис.1). Весь диапазон значений заработной платы от минимума до максимума делится на равные интервалы. Столбики представляют списочную численность работников с определенным значением заработной платы в данном интервале. Вдоль столбиков расположена кривая нормального распределения, имеющая длинный правый «хвост», что свидетельствует о неравномерном распределении показателя.

Рисунок 1. Встречаемость значений заработной платы

То есть небольшая численность работающих имеет довольно высокий (по сравнению с основной массой) уровень зарплаты, который распределился следующим образом:

Таблица 12. Распределение работающих по уровню заработной платы

На рис. 2 приводится распределение работающих по уровню заработной платы в городах и районах (показатели ранжированного ряда).

Рисунок 2. Распределение работающих по уровню заработной платы

Условные обозначения:

1. г. Сыктывкар

2. г. Воркута

3. г. Вуктыл

4. г. Инта

5. г. Печора

6. г. Сосногорск

7. г. Усинск

8. г. Ухта

9. Ижемский р-н

10. Княжногостский р-н

11. Койгородский р-н

12. Корткеросский р-н

13. Прилузский р-н

14. Сыктывкарский р-н

15. Сысольский р-н

16. Троицко-печорский р-н

17. Удорский р-н

18. Усть-Вымский р-н

19. Усть-Куломский р-н

Усть-Цилемский р-н

.Граница, отделяющая нижнюю заштрихованную область - 25-й процентиль. Заработная плата четверти самых низкооплачиваемых работающих не превышает эту величину (в среднем по предприятиям - 1,9 тыс. рублей). Выше расположена медиана (в среднем - 3,1 тыс. рублей). Половина работников получает зарплату в пределах этой суммы. Три четверти работающих имеет зарплату, не превышающую величину 75-ro процентиля (в среднем по предприятиям он равен 5,9 тыс. рублей). В пределах верхней границы (в среднем по предприятиям- 12,2 тыс. рублей) получает заработную плату большинство работающих, за ней начинаются экстремальные значения, не отображенные на данной диаграмме. Экстремально высокие значения зарплаты начисляются 5% работников. Наибольшие из экстремальных значений приводятся в таблице 13:

Таблица 13. Размах величины средней заработной платы на предприятиях городов и районов

	Количество предприятий	Средняя заработная плата, рублей.
		Минимум	Медиана	Максимум	Размах	Максимум к минимуму, раз
Города: Сыктывкар	447	102	2768	78501	78501	771
Воркута	173	314	3125	17443	17129	56
Вуктыл	66	950	2544	19338	18388	20
Инта	117	403	2525	11200	10797	28
Печора	182	183	2227	21300	21117	116
Сосногорск	98	333	2588	12587	12253	38
Усинск	110	483	4447	26276	25792	54
Ухта	217	280	3143	19464	19184	70
Районы: Ижемский	83	434	1936	7396	6962	17
Княжногостский	114	575	1814	10508	9933	18
Койгородский	66	317	2137	7500	7183	24
Корткеросский	124	293	1550	6311	6018	22
Прилузский	135	500	1640	6669	6169	13
Сыктывдинский	94	326	1823	12206	11880	37
Сысолский	96	320	1781	6600	6280	21
Троицко-Печорский	80	200	1953	6830	6630	34
Удорский	125	300	1767	11300	11000	38
Усть-Вымский	120	400	1817	9224	8824	23
Усть-Куломский	141	200	1694	7839	7639	39
Усть-Цилемский	94	262	1939	7065	6803	27

Размах между максимальными и минимальными значениями зарплаты чрезвычайно велик, особенно на предприятиях городов Сыктывкара, Печоры, Ухты, Воркуты, Усинска. Вместе с тем основная доля значений средней заработной платы довольно низкая (рис. 3):

Рисунок 3. Распределение предприятий по величине средней заработной платы по городам и районам.

Ящичковая диаграмма представляет ранжированный ряд значений заработной платы на предприятиях городов и районов. На всех ящичках значение медианы (жирная черта) смещено к низу, то есть ближе к минимальной величине заработной платы; в городах оно выше, чем в районах. Межквартильная широта (высота ящичка) показывает, насколько сильно различается уровень зарплаты у половины предприятий, находящихся в центре ранжированного ряда. Она несколько больше в городах (2-3 тыс.), ниже - в районах (1,2-2 тыс.). Экстремально высокие значения зарплаты на предприятиях городов начинаются с 6-10 тыс. рублей, районов - с 4-6 тыс.

Лишь города Усинск и Ухта выделяются большим разбросом значений средней зарплаты основной массы предприятий. Здесь больше межквартильная широта (соответственно 6,8 и 4,1 тыс. рублей) и выше граница экстремальных значений (с 19 и с 12 тыс.).

Величина средней заработной платы не превышала прожиточный минимум для трудоспособного населения (в среднем по республике он составил 1,9 тыс. рублей) более чем на трети предприятий, где была занята пятая часть работающих. Однако в большинстве районов эта доля была значительно выше (см. рис. 4):

Рисунок 4. Доля работающих со средней заработной платой меньше прожиточного минимума (в % к общей численности работающих в городе,районе)

Таким образом, наблюдается резкая дифференциация зарплаты в пределах городов и районов и между ними. Имеются экстремально высокие значения начисленной заработной платы, на порядок и более превышающие минимальные размеры заработной платы. При этом минимальные уровни зарплаты не представлены ни как выбросы, ни как экстремумы, то есть значения, явно отличающиеся от основной их массы. Напротив, основная доля работающих имеет довольно невысокий уровень зарплаты. Пятая часть из них получает заработную плату, не превышающую прожиточный минимум для трудоспособного населения, а в ряде районов - половина и более. Заработная плата половины работающих не превышает 3,1 тыс. рублей. Те, кто не относится ни к низко-, ни к высокооплачиваемым, получают в пределах 1,9-5,9 тыс. рублей. Меньшую, чем среднюю по республике заработную плату (4,6 тыс. рублей), имеют 66% работников.

Выявленные пропорции позволяют предположить, что уровень средней зарплаты несколько завышен, если оценивать основную массу работающих. Поэтому возникает необходимость применения альтернативных показателей, характеризующих среднее значение заработной платы.

Одним из них является медиана, величина которой приводилась выше (3,1 тыс. рублей).

Иногда для аналитических целей используется 5%-ное усеченное среднее. Оно вычисляется путем упорядочивания значений по возрастанию, отсечением (удалением) 5% значений от начала и от конца, а затем - вычислением обычного среднего для оставшихся значений. Как уже отмечалось, именно эта доля работающих на крупных и средних предприятиях получает зарплату с экстремально высокими значениями. То есть 5%-ное усеченное среднее - более корректный показатель. По республике он составил 4,1 тыс. рублей, что меньше средней зарплаты (4,6 тыс.), но больше медианы.

И все же традиционно в аналитической работе используется среднее. Поэтому актуальной становится задача корректного вычисления этого показателя, то есть с учетом того, что оценка среднего очень чувствительна к экстремальным значениям.

Вычисление среднего, сравнение групповых средних допустимо только для переменных с так называемым нормальным распределением. В существующей практике органами статистики среднее вычисляется без проверки характера распределения, хотя последнее может оказаться не похожим на нормальное. Это может привести к ошибочным выводам, особенно когда распределение значительно отклоняется от нормального. Плотность нормального распределения представляет симметричную кривую, в которой численности растут до максимума, а потом с такой же постепенностью убывают. Приведение данных к нормальному распределению заключается в преобразовании исходных данных - логарифмировании, возведении в степень, извлечении корня и т.п.

В нашем случае кривая нормального распределения несимметрична, имеет длинный «хвост», что видно на гистограмме (рис. 1). Для улучшения распределения показателя «заработная плата» использовалось возведение в степень. После этого было найдено среднее, 5%-ное усеченное среднее, медиана. Далее с ними были произведены вычисления, обратные проведенным преобразованиям. В результате были получены следующие значения:

Таблица 14. Показатели, характеризующие средний уровень заработной платы.

После преобразований значение медианы практически не изменилось, значения среднего и 5%-ного усеченного среднего сравнялись и гораздо меньше стали отличаться от медианы.

Таким образом, средняя заработная плата по крупным и средним предприятиям республики составила 4,6 тыс. рублей, однако для основной доли этих предприятий среднее намного ниже - 3,3 тыс. рублей.

Итак, в республике наблюдается существенная дифференциация уровней заработной платы, что отражает процесс расслоения общества по величине доходов. Применяемое в статистической практике среднее, вычисляемое без проверки характера распределения данных, испытывает влияние экстремальных значений и может искажать явления, происходящие в обществе. Значимость этого вывода имеет особую важность для показателей, характеризующих уровень жизни.

Заключение

В заключении подведем итоги. Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.

Список литературы:

1. Бестужев-Лада И.В. Мир нашего завтра, М.: «Мысль», 1998

2. Боярский А.Я., Громыко Г.Л. Общая теория статистики, М., 1995.

3. Гусаров В.М. Теория статистики. – М., 1998.

4. Российский статистический ежегодник. – М.:2002. – часть1

5. http://www.infostat.ru

6. http://www.vedi.ru.

1 Кетле А. Социальная физика или Опыт исследования о развитии человеческих способностей. Т. 1. Киев. – 1911. – С. 37.

Характеристики

Список файлов курсовой работы