Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Отже, стаціонарна хвилева функція електрона в періодичному полі кристала залежить від хвильового вектора до і має вигляд:

(3.8)

де є плоскою хвилею, що біжить у напрямі вектора k, а U(r) - деяка функція координат, залежна від хвильового вектора k і має періодичність кристалічної гратки. Вираз для

носить назву хвилі (або функції) Блоха.

Якщо функцію Блоха підставити в рівняння, то матимемо:

(3.9)

З рівності виходить, що енергія електрона в кристалі повинна залежати від хвилевого вектора до, тобто Е = Е (k).

Отже, вирішенням рівняння Шредінгера для електрона в періодичному полі кристала є плоска хвиля, що біжить, модулюється з періодичністю решітки, а енергія електрона залежить від хвилевого вектора k.

Якби отримані результати на основі введення самоузгодженого поля залежали від чисельного значення потенціалу періодичного поля V (г), то в даний час, мабуть, не існувало б такої теорії твердого тіла, оскільки поля ці невідомі і не можуть бути визначені ні теоретично, ні експериментально. Проте для того, щоб отримати фундаментальні результати теорії, немає необхідності знати чисельні значення силових полів, достатньо лише знати, що це поле періодичне в просторі і що його періоди співпадають з періодами решітки.

Розглянемо, що відбувається з енергетичними рівнями при взаємодії великого числа атомів, утворюючих кристал. Рівні енергії внутрішніх електронів, розташованих ближче до ядра, при цьому майже не змінюються. Про це можна судити по рентгенівських характеристичних спектрах, вид яких майже не залежить від сполуки або агрегатного стану речовини. Проте оптичний спектр, обумовлений переходом самих зовнішніх еквівалентних електронів, різко змінюється.

Якщо вважати, що кінетична енергія електронів значно більше просторових змін його потенційній енергії, то періодичний потенціал V (r) можна розглядати як мале збурення вільного руху електронів. Такий підхід, що отримав назву наближення майже вільних електронів, дає більш менш задовільні результати при вирішенні деяких завдань для металів.

Аналіз фізичних властивостей напівпровідників наочніший в наближенні сильно зв'язаних електронів, в якому вважають, що розміщення електрона в кристалі мало відрізняється від розміщення його в ізольованому атомі. Але такий підхід застосовний тільки для електронів, що знаходяться на глибоких енергетичних рівнях атомів, тобто він застосовний для електронів, які слабо взаємодіють з атомами інших вузлів гратки. Тому наближення ні слабо, ні сильно зв'язаних електронів не дозволяють кількісно описати розміщення валентних електронів в кристалі. Іншими словами, ці наближення не можуть бути використані для кількісних розрахунків енергетичного спектру електронів конкретної речовини, але вони добре ілюструють загальні закономірності руху електрона в періодичному полі кристала. Тому хвилеву функцію електрона в кристалі можна представити у вигляді лінійної комбінації атомних хвилевих функцій :

(3.10)

Тому вираз для енергії електрона в періодичному полі простої кубічної решітки прийме вигляд:

(3.11)

Аналіз даного виразу дозволяє зробити ряд висновків щодо енергетичного спектру електронів в кристалах.

1. Рівень Е_α ізольованого атома при утворенні кристалічної решітки в результаті взаємодії атомів зміщується на величину С. Направлення зміщення рівня залежить від знаку величини С.

2. Атомний рівень в кристалічній решітці розщеплюється в смугу або зону, усередині якої енергія електрона періодично залежить від компонент хвильового вектора k.

3. Екстремальне значення виразу, яке має місце при cos k_ia = ± 1(i=x, y, z), будуть

Е_макс=E_a+ C + 6A;

Е_мін=E_a+ C - 6A.

Отже, для простої кубічної решітки ширина енергетичної зони рівна:

Е_макс - Е_мін = 12А, тобто залежить від величини обмінного інтеграла.

4. Кожен енергетичний рівень ізольованого атома в кристалі розщеплюється в зону. Оскільки величина обмінного інтеграла визначається перекриттям електронних хмар сусідніх атомів, то, чим сильніше перекриваються хвильові функції атомів, тим більше величина А а, отже, і ширина енергетичної зони. Через це для вищих атомних рівнів із-за більшого перекриття хвильових функцій утворюється ширша енергетична зона (мал. 2-3).

5. Енергетичні зони в загальному випадку розділені забороненими інтервалами енергії E_g, званими забороненими зонами (рис. 3.1).

6. Із зростанням енергії ширина енергетичних зон збільшується, а ширина заборонених зон зменшується (рис. 3.1).

7. Рівень Е_а в ізольованому атомі може бути виродженим. У кристалічній решітці виродження може бути часткове або повне. При цьому атомний рівень розщеплюється на декілька зон, число яких відповідає ступеню виродження. Наприклад, для р - стану чинник звиродніння g = 3, оскільки g = 2І+1, де І – азимутне квантове число, яке для р - стану дорівнює 1. Отже, з атомного р - стану в кристалі можливе утворення трьох зон.

8. Енергія електрона в кристалі залежить від компонент хвильового вектора k. Вона є парною функцією хвильового вектора k, тобто

E(k)=E(-k).

9. При дії на кристал температури і тиску, що приводять до зміни відстані між атомами, буде змінюватися область перекриття хвильових функцій і, отже, величина обмінного інтеграла. Це викличе зміну ширини енергетичних зон, в результаті зміниться і ширина забороненої зони між цими зонами.

Рис.3.1. Утворення зон енергії з енергетичних рівнів при зближенні атомів, а – постійна гратки кристала.

10. Метод сильного зв'язку непридатний до зовнішніх валентних, електронам атомів кристалів, оскільки із-за великого перекриття хвильових функцій сусідніх атомів ширина енергетичної зони валентних електронів приблизно дорівнює відстані між рівнями енергії в ізольованому атомі або перевищує їх.

Розділ 4. Зони Бріллюена

При зміні хвильового вектора від 0 до π/а енергія електрона зростає неперервно, при виникає перший розрив. Дала енергія знов зростає неперервно, але при знов виникає наступний розрив.

Області значень хвильового вектора при якому енергія електрона змінюється неперервно називають зонами Бріллюєна.

4.1. Поняття про зони Бріллюена

В енергетичній зоні кристала є N енергетичних станів, яким відповідають значення компонент хвильового вектора:

(4.1)

і компонент квазіімпульсу

(4.2)

Де i=x, y, z, а j = 1, 2, 3.

Значенням квазіімпульсу в системі координат (р_х, р_у, р_z) відповідатиме деяка область, побудована навколо початку координат і що містить всі можливі різноманітні стани. Ця область називається першою, або основною, зоною Брілюєна. Для кристала з простий кубічною граткою перша зона Брілюєна є кубом (рис. 4.1, а) об'ємом:

(4.3)

Рис. 4.1 Перша зона Брілюєна для кристала з простою кубічною решіткою (а), кубічною об’ємноцентрованою (б), кубічною гранецентрованою решітками (в).

Оскільки об'єм першої зони Бріллюена для кристала з простими кубічними гратками дорівнює (h/а)³, а об'єм елементарної комірки h³/a³N, то число елементарних комірок в ній складає N, тобто рівне кількості енергетичних станів в зоні. Але в енергетичній зоні може розташовуватися 2N електронів, отже, і в першій зоні Брілюєна може бути 2N електронів, а в її кожній комірці може знаходитися тільки два електрони з протилежно направленими спінами.

Друга і наступні зони Бріллюена, які відповідають відповідно другій і наступним енергетичним зонам, мають складнішу конфігурацію, але їх об'єм залишається постійним. Вони також містять N елементарних комірок, кожну з яких можна надати у відповідність комірку в першій зоні, що описує еквівалентний стан.

4.2. Приведені зони

Операція побудови всіх енергетичних зон в межах першої зони, називається приведенням зон до першої зони, а самі зони, побудовані таким чином, називаються приведеними зонами. Приведення зон полягає в зсуві по осі енергій ділянок кривої E(k), що відносяться до різних зон, на відрізки, кратні 2π/а. На рис. 4.4 пунктиром показана 2-а, 3-а і частково 4-а приведені зони, горизонтальними стрілками – напрям зсуву при побудови цих зон, в розривах стрілок вказана величина зсуву. З рисунка видно, що у всіх непарних приведених зон в центрі розташовуються мінімуми, а на межах зон максимуми; у парних зон, навпаки, в центрі розташовуються максимуми, на межах – мінімуми.

Мал. 4.4. Перекриття енергетичних зон.

а) дозволені зони накладаються на заборонені; б) заборонені зони для різних напрямків кристалів накладаються одна на одну, утворюючи абсолютно заборонену зону для кристала в цілому.

Аналогічним чином будуються приведені зони для тривимірних кристалів. Оскільки періодичність решіток в тривимірному кристалі у різних напрямах може бути різною, то значення k, при яких настає бреггівське відбиття і виникають розриви в енергетичному спектрі електрона, будуть також різними: для напряму, уздовж якого періодичність решітки рівна а, розриви настають при , для напряму з періодичністю b – при , для напряму з періодичністю с – при і так далі. Внаслідок цього область енергій, заборонена для певних напрямів, може перекриватися областями дозволених енергій для інших напрямів (рис. 4.4,а) і енергетичний спектр в цілому виявиться безперервним. Тільки у тому випадку, коли області заборонених енергій для всіх напрямів накладаються один на одного (рис. 4.4,б), в кристалі існуватимуть абсолютно заборонені області енергій і його енергетичний спектр збереже зонний характер.

4.3. Ефективна маса електрона

Розглянемо рух електрона в кристалі під дією зовнішнього поля напруженості Е. Поле діє на електрон із силою F = eE. У випадку цілком вільного електрона ця сила є єдиною. На електрон, який перебуває в кристалі, крім неї діє періодичне поле решітки. Тому рух електрона в кристалі виявляється значно більше складним, чим рух вільного електрона в потенційному ящику. Один з способів опису цього руху полягають у наступному. Швидкість руху електрона в кристалі дорівнює груповій швидкості поширення електронних хвиль і визначається формулою i

(4.10)

За час dt зовнішня сила F виконує роботу з переміщення електрона, чисельно рівну: (4.11)

Диференціюючи по часу визначимо прискорення електрона:

(3.12)

(3.13)

Формула (3.13) встановлює зв'язок між прискоренням електрона й зовнішньою силою, що діє на нього з боку зовнішнього електричного поля Е. Вона виражає, отже, другий закон Ньютона. Із цієї формули видно, що під дією зовнішньої сили F електрон у періодичному полі кристала рухається в середньому так, як рухався б під дією цієї сили вільний електрон, якби він мав масу:

(3.14).

Маса називається ефективною масою електрона. Приписуючи електрону, що перебуває в періодичному полі кристала, масу , ми можемо вважати цей електрон вільним та описувати його рух у зовнішнім полі так, як описується рух звичайного вільного електрона. До речі, для вільного електрона, для якого , формула (3.14) дає: що, потрібно було очікувати.

Необхідно підкреслити, що введення поняття ефективної маси є лише зручним способом опису поводження електрона в періодичному полі кристала. Сама ж ефективна маса не є масою у звичайному змісті слова. Вона не визначає ні гравітаційних, ні інерційних властивостей електрона. По величині вона може бути як більше, так я менше маси вільного електрона, за знаком – як позитивною, так і негативною.

4.4. Енергетична будова алмазоподібних напівпровідників.

Кремній і германій мають кристалічну структуру типу алмаза, що представляє собою дві гранецентровані кубічні решітки, зміщені одна щодо іншої на 1/4 просторової діагоналі. Елементарний осередок містить два атоми. Для них перша зона Брілюєна не є кубом, а має форму чотирнадцятигранника, зображеного на рисунку 4.5, де значення складових хвильового вектора дані в одиницях 2п/а (а - ребро куба решітки).

Характеристики

Список файлов курсовой работы