86292 (612712), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Матрица-столбец узловых токов I_уз будет иметь вид

Матрица взаимных проводимостей

,

Найдем значения элементов матрицы

Подставляя значения проводимостей в исходную матрицу, получим следующую формулу

.

При построении по системе уравнений ненормализованного U-графа необходимо пользоваться только нормированными (безразмерными) величинами. Поэтому вводим масштабные множители

Y₀=1, См; U₀= 1, В; I₀ = 1, А;

; ; .

Составим ненормализованную матрицу передач А

где n – порядок матрицы , n = 3; m – количество ненулевых элементов матрицы , m=2; 1_n – единичная матрица порядка n; -1_m – отрицательная единичная матрица порядка m; 0_(n-m)m – нулевая матрица, состоящая из (n-m) строк и m столбцов.

Опираясь на предыдущие уравнения строим ненормализованную матрицу передач

Подставим числовые значения

.

На основании этой матрицы передач строим ненормализованный U–граф (рисунок 3.2). Так как у данного графа узлы-источники не соответствуют источникам в исходной схеме, преобразуем его, разделив узлы-источники (рисунок 3.3).

Рисунок 3.2 – Ненормализованный U – граф без преобразованных источников

Рисунок 3.3 – Ненормализованный U

4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА В НОРМАЛИЗОВАННЫЙ U-ГРАФ

Преобразуем полученный U-граф в нормализованный (рисунок 4.1). C этой целью исключим петли из ненормализованного графа. Тогда по правилам преобразования графов передачи нормализованного U-графа будут иметь следующие значения

Рисунок 4.1 – Нормализованный U – граф

5 РАСЧЕТ УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОМ УЗЛЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО И НОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФАХ НА ОСНОВАНИИ ФОРМУЛЫ МЭЗОНА

Для начала рассчитаем напряжения в узлах ненормализованного графа (рисунок 3.3). Запишем все контуры этого графа

L₁=a₁₁=1,01-0,133j;

L₂=a₂₂=1,013-0,054j;

L₃=a₃₃=1,025-0,417j;

L₄=a₁₂∙ a₂₁=(-0,00641+0,029j)²=-0,0008-0,000372j;

L₅=a₂₃∙ a₃₂=(-0,00615+0,025j)²=-0,00059-0,0003075j.

Рассчитаем напряжение в 1 узле ненормализованного графа. Формула Мэзона для этого случая имеет вид

(5.1)

где Р₆₁ - путь от узла 6 к узлу 1; Р₄₁ - путь от узла 4 к узлу 1; Р₅₃₂₁ - путь от узла 5 к узлу 1; Р₇₃₂₁ - путь от узла 7 к узлу 1 Δm₆₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 6 к узлу 1; Δm₄₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 4 к узлу 1; Δm₅₃₂₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 5 к узлу 1; Δm₇₃₂₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 7 к узлу 1 - определитель графа.

Δ=1 - (L₁+L₂+L₃+L₄+L₅) + (L₁ L₂+L₁ L₃+L₃·L₂+L₁·L₅+L₃·L₄) - (L₁·L₂·L₃) =

= 1 - (1,01 - 0,133j + 1,013 - 0,054j + 1,025 - 0,417j - 0,0008 - 0,000372j - 0,00059 -

- 0,0003075j) + ((1,01 - 0,133j)·(1,013 - 0,054j) + (1,01 - 0,133j)·(1,025 - 0,417j) +

+ (1,025 - 0,417j) · (1,013 - 0,054j) + (1,01-0,133j) · (-0,00059-0,0003075j)+(1,025-

- 0,417j) · (- 0,0008 - 0,000372j) - (1,01 - 0,133j) · (1,013 - 0,054j) · (1,025-0,417j) = =0,0009-0,00248j

Δm₆₁=1-(L₅+L₂+L₃)+L₃·L₂=1-(-0,00059-0,0003075j +1,013-0,054j +1,025-

-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;

Δm₄₁=1-(L₅+L₂+L₃)+L₃·L₂=1-(-0,00059-0,0003075j +1,013-0,054j +1,025-

-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;

Δm₅₃₂₁=1;

Δm₇₃₂₁=1;

P₆₁= 1;

P₄₁= 1;

P₅₃₂₁=a₅₃·a₃₂·a₂₁=-1∙(-0,00615+0,025j)∙(-0,00641+0,029j)=0,000686+0,00034j.

P₅₃₂₁= P₇₃₂₁

Подставляя найденные значения в формулу Мэзона (5.1) получим

Чтобы получить размерную величину напряжения умножим полученное значение на масштабный множитель

.

Рассчитаем напряжение в первом узле нормализованного графа, изображенного на рисунке 4.1. Для этого воспользуемся той же формулой Мэзона, что и для ненормализованного графа, только изменим все входящие в нее элементы. В нормализованном графе имеем всего два некасающихся контура

L₁= a₁₂∙ a₂₁=(0,22+0,032j)·(0,535-0,01j)=0,118+0,015j;

L₂= a₂₃∙ a₃₂=(0,464+0,0023j)·(0,061+0,011j)=0,028+0,00065j.

Тогда находим оставшиеся члены формулы

Δ_н=1- (L₁+L₂)=1- (0,118+0,015j + 0,028+0,00065j) =0,854-0,016j;

P_5321н=a₅₃·a₃₂·a₂₁=(0,143-2,39j)∙(0,464+0,0023j)·(0,22+0,032j)=

= 0,051-0,242j.

Алгебраические дополнения путей вычисляются следующим образом

Δm_41н=1- (L₂)=1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;

Δm_61н=1- (L₂)= 1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;

Δm_5321н=1;

Δm_7321н=1.

Вычисляем напряжение в первом узле по формулам (5.1), приведенным выше

.

Погрешность равна

;

.

Как видим, погрешности меньше 5%, следовательно, расчеты верны. Напряжение в узлах, найденное с использованием формулы Мэзона, получилось одинаковым для ненормализованного и нормализованного графа, следовательно, эти графы равносильны.

6 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА ПРЯМЫМ МЕТОДОМ

Алгоритм построения U-графа прямым методом следующий:

1. На поле графа наносим узлы, которые соответствуют неизвестным напряжениям в узлах схемы;

2. Каждую пару узлов соединяем двумя противоположно направленными ветвями с передачами равными взаимным проводимостям между узлами схемы и помноженными на -1;

3. Строим в узлах графа петли с передачами равными сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле и прибавляем к ним единицу;

4. Наносим на поле графа узлы-источники и соединяем их с зависимыми узлами передачами равными -1, если ток подтекает к узлу, и +1, в противоположном случае.

Пользуемся схемой, представленной в каноническом виде (рисунок 3.1). В результате получаем граф, изображенный на рисунке 6.1. Находим значения проводимостей

В результате получили ненормализованный граф, изображенный на рисунке 6.2. Ненормализованные U-графы, построенные прямым и косвенным методом, получились одинаковыми, что говорит об их равносильности.

Рисунок 6.1 – Ненормализованный U–граф, построенный прямым методом

Рисунок 6.2 – Ненормализованный U–граф, построенный прямым методом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе было проведено исследование дифференциально-интегральных уравнений. В результате были получены критерии подобия способами интегральных аналогов и на базе π-теоремы. Анализируя эти методы можно сделать выводы, что исследование методом интегральных аналогов является менее объемным, в сравнении с исследованием на базе π-теоремы, но дает меньшее число форм записи критериев подобия.

Также мы ознакомились с теорией графов. Теория графов позволяет вскрывать внутренние причинно следственные связи между параметрами процесса и системы. Благодаря этому аппарат теории графов адекватен природе изучаемых явлений. В силу чего теория графов не ограничивается анализом электрических систем и находит применение в различных областях техники. Выполнено построение для электрической схемы косвенным методом ненормализованного U-графа с дальнейшим его преобразованием в нормализованный. При помощи формулы Мэзона было рассчитано узловое напряжение в зависимом узле этого графа. Выяснено, что узловые напряжения имеют одинаковые значения для ненормализованного и нормализованного U-графов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бойчевский, В. И. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе «Применение методов моделирования к электротехническим задачам» по дисциплине «Моделирование в технике» (для студентов специальности 140610) [Текст]: / В. И. Бойчевский, А. Н. Шпиганович. – Липецк: ЛГТУ, 2009. – 22с.

2. Бугров, Я. С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст]: / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – Ростов: Феникс, 1997. – 288с.

3. Шпиганович, А. Н. Методические указания к оформлению учебно-технической документации [Текст] / А. Н. Шпиганович, В. И. Бойчевский. – Липецк: ЛГТУ, 1997. – 32с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчет определителей третьего порядка

Характеристики

Список файлов курсовой работы