Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

является представление степени этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений и и обозначается через .

Представление группы называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что

где каждое является неприводимым представлением группы .

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Представление группы называется унитарным, если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Матрица называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.

Лемма 2.1. Пусть – произвольная невырожденная матрица. Тогда – положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.

Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что .

Доказательство. Пусть . Тогда и . Пусть

.

Положим

Тогда

и – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .

Теорема 2.3. Пусть – конечная группа. Для каждого представления группы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что является унитарной матрицей для всех .

Доказательство. Положим

Тогда в силу леммы 2.1 является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как

то , т.е. ; поэтому – унитарная матрица.

Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть – приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:

В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что – унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид

Поскольку , мы получаем

откуда следует, что .

1.3 Лемма Шура

Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть и – неприводимые представления группы степеней и соответсвенно. Пусть – такая – матрица, что

Тогда либо

,

либо

и невырожденная.

Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что

где . Так как , то

где

Таким образом, , если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию.

Теорема 3.2. Пусть – неприводимое представление группы . Пусть – такая матрица, что для всех . Тогда , где .

Доказательство. Пусть – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,

откуда в силу леммы Шура следует, что

Теорема 3.3. Пусть – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.

Доказательство. Пусть – неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.

Характеры. Для квадратной матрицы порядка обозначим через ее след, т.е.

Путем прямых вычислений доказывается следующая

Лемма 4.1.

для произвольной квадратной матрицы .

Для представления группы положим Тогда – функция, принимающая значения в множестве и называемая характером представления . Очевидно, что равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая

Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер.

Поскольку , имеет место равенство . Таким образом, принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов.

Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть – группа порядка , а и – ее неприводимые представления степеней и соответственно. Для произвольной – матрицы пусть

Тогда, положив , получаем

Поскольку , как и , пробегает группу , то

Предположим, что и неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура . Отсюда для -го элемента матрицы получаем

В частности, если взять для некоторой пары и в остальных случаях, то

Пусть теперь . Тогда в силу теоремы 3.2 для некоторого . При этом -ый элемент матрицы равен

где и для . Вычислив след матрицы

мы получаем (здесь – степень представления ), откуда

Пусть для некоторой пары и , если или . Тогда

Тем самым мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть – группа порядка g.

(1) Пусть – неприводимое представление группы степени . Тогда

(2) Пусть – неприводимое представление, не эквивалентное представлению . Тогда

Пусть – характеры представлений и . Положив в предыдущей теореме и просуммировав по , мы получаем теорему.

Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – группа порядка g.

(1) Если – неприводимый характер группы , то

(2) Если – характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы , то

Отметим, что для всех , поскольку теорема 2.3 утверждает, что эквивалентно некоторому унитарному представлению и потому

Пусть – представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы и – характеры представлений . Обозначим через классы сопряженных элементов группы , причем , и пусть – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.

Теорема .

Для функций , определенных на группе порядка и принимающих значения в поле , определим скалярное произведение по следующему правилу:

В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо будем писать . Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:

В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:

Теорема . Пусть – характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы . Тогда

Кратности неприводимых представлений. Пусть – некоторое представление группы . Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению

где – неэквивалентные неприводимые представления. Число называется кратностью представления в , и мы записываем

Пусть – характер представления и – характер представления . Тогда

Если , то и называют неприводимыми компонентами представления и характера соответственно.

Теорема 4.5. Пусть – группа и – характер некоторого ее представления. Пусть – кратность неприводимого характера в . Тогда

Доказательство. Пусть разложение в сумму неприводимых характеров имеет вид , где – кратность . Тогда

Теорема 4.6. Пусть – представления группы , а – их характеры. Тогда и эквивалентны в том и только том случае, когда .

Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты в и определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы вполне приводимо, представления и эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление имеет в и одну ту же кратность. Таким образом, тогда и только тогда, когда .

Пусть – характер правого регулярного представления группы порядка . Отметим, что

Для характера произвольного неприводимого представления выполняется соотношение

равно степени представления ). Следовательно, справедлива следующая

Теорема 4.7. Пусть – характер правого регулярного представления группы . Тогда каждое неприводимое представления этой группы входит в с кратностью , где – степень представления . Таким образом,

где суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .

Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому .

Характеристики

Список файлов курсовой работы