85699 (612552), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

и, значит

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как то

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 4 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что --- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 1 Если и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Определение 2.3 1 Факторы и назыавются перспективными, если либо либо

Теорема5 2 Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если , и факторы , перспективны, то

4) если - конгруэнции на и , то

где , .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если

то

Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что --- конгруэнция на .

Пусть

для . Тогда

и

Так как --- конгруэнция, то для любой -арной операции имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть 11()

Тогда

Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и 22()

Тогда

Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

33()

тогда и только тогда, когда

44()

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .

Так как то

то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение на следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Определение 3.1 Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры из ;

Определение 3.2 Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема6 Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .

Так как и , то .

Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .

Теорема7 Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы 6 следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .

Лемма 3.1 1 Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .

Доказательство:

Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема8 Пусть --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

Лемма 3.2 Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и .

Как показано в работе 2 --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции .

Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема9 Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Список использованной литературы

11[] Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

22[] Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

33[] Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

44[] Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

55[] Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.

Характеристики

Список файлов курсовой работы