Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации справедливо следующее равенство

Отсюда следует, что

По лемме 5.1.2,

Лемма доказана.

1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -формация Шеметкова;

2) , где и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде

где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что если --- -формация Шеметкова, то

Действительно, очевидно, что

Покажем обратное включение. Пусть --- группа наименьшего порядка из

Так как --- наследственная формация, то .

Так как --- насыщенная формация, то . Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Согласно условию, либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.

Пусть . Так как , то . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть --- группа Шмидта и , где . Очевидно, что . Тогда из следует, что . А это значит, что . Так как , то . Но тогда . Так как --- полный экран, то . Так как --- внутренний экран, то . Получили противоречие.

Покажем, что из 2) следует 1).

Пусть . Согласно условию, --- разрешимая группа. Пусть . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем --- -группа и . Согласно теореме 2.2.5, , где , --- полный локальный экран формации . Согласно лемме 2.2.20, . А это значит, что , где . Отсюда нетрудно заметить, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.

1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую -разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на .

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем и . Так как --- -разрешимая группа, то либо --- -группа, либо -группа. Если --- -группа, то из того, что следует, что . Противоречие.

Пусть --- -группа. Согласно условию, и . Так как и , то . Отсюда следует, что . Аналогичным образом получаем, что . Отсюда и группа . А это значит, что . Получили противоречие. Теорема доказана.

В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова замкнута относительно произведения -субнормальных -подгрупп. Для наследственных насыщенных -формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.

1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую группу , где и --- -подгруппы, индексы , не делятся на и либо , либо -субнормальны в .

Доказательство. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:

где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть --- группа наименьшего порядка, не принадлежащая , такая, что , где и --- -подгруппы, индексы , не делятся на и -субнормальна в .

Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Так как --- насыщенная формация, то .

Пусть --- абелева группа и --- -группа. Если , то из того факта, что , следует, что . Противоречие.

Если --- -группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что . Противоречие.

Пусть --- неабелева группа. В этом случае

z\ неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная -субнормальная подгруппа группы и , то нетрудно показать, что . Рассмотрим подгруппу . По тождеству Дедекинда

Очевидно, что --- -субнормальная подгруппа . Так как --- наследственная формация и , то . Очевидно, что индексы , не делятся на . Тогда по индукции, . Если , то . Получили противоречие. Значит, . Так как --- нормальная подгруппа из , то --- нормальная подгруппа из . Но тогда

где --- изоморфные неабелевы простые группы, . Так как и --- наследственная формация, то . Отсюда нетрудно показать, что . Если делится на , то из того, что , следует, что --- нормальная подгруппа группы . Противоречие. Если --- -группа, то ясно, что . Противоречие. Теорема доказана.

2. Описание -формаций Шеметкова

Введем следующее определение.

Определение. Формация называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.

Приведем пример -формаций Шеметкова.

2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех -замкнутых групп является -формацией Шеметкова.

Действительно. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что -замкнута и -замкнута, следует, что -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1, --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак, --- -формация Шеметкова.

2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -формация Шеметкова;

2) , где и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Ясно, что формация является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:

где --- максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где --- любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через группу простого порядка . Очевидно, что и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Так как и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что --- -формация Шеметкова. Итак, для любого из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:

Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:

где --- некоторое множество простых чисел, содержащее число .

Покажем, что из 2) следует 1).

Действительно, что --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа, --- -группа и , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация имеет полный локальный экран такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа с либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак, --- -формация Шеметкова. Теорема доказана.

2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Формация содержит любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на , только в том случае, когда --- формация -замкнутых групп.

Доказательство. Пусть --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где . Если , то --- формация -замкнутых групп. Так как индексы , не делятся на , то и содержат силовскую -подгруппу группы . По условию, и -замкнуты. Отсюда следует, что -замкнута. Пусть множество содержит простое число . Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть --- группа порядка . Пусть --- простое число, отличное от и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Так как , то, как и выше, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть .

Рассмотрим следующие две подгруппы: и . Ясно, что . Подгруппы и -замкнуты, причем индексы , не делятся на . Если бы группа была бы -замкнута, то тогда была бы нормальной подгруппой в группе , что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда . Лемма доказана.

2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- -разрешимая группа, , где , , индексы , не делятся на . Тогда .

Характеристики

Список файлов курсовой работы