85627 (612529), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис.4

Аналогичным образом заменим грани четырёхгранного угла SABCD тетраэдрами вершинами вниз и получим «дно» будущего многогранника (рис. 5).

При изгибании четырёхгранных углов NABCD и SABCD их рёбра как-то перемещаются, и они автоматически определяют движения боковых граней построенных тетраэдров.

Рис.5

«Крышка» и «дно» склеены между собой по сторонам прямоугольника ABCD, и они вместе образуют замкнутый изгибаемый многогранник Q, состоящий из 24 боковых граней 8 тетраэдров. В отдельности на «крышке» и «дне» по построению самопересечений нет. Боковые грани и рёбра тетраэдров «крышки» и «дна» располагаются по разные стороны от общей плоскости их оснований, поэтому они тоже не пересекаются. Но рёбра на основании тетраэдров остались те же, что были в прямоугольнике на рис. 3. Видно, что есть всего две точки самопересечения — точки a и b. Наша задача — убрать эти самопересечения. В многограннике Q самопересечение выглядит как на рис. 6, т. е. фактически оно является самокасанием: в точке a касаются рёбра двух двугранных углов. Коннелли сумел изменить один двугранный угол в окрестности точки a так, чтобы исчезло самокасание, а новые элементы конструкции изгибались согласованно с изгибанием изменённого двугранного угла, состоящим в непрерывном изменении раствора двугранного угла.

Рис.7

Для этого рассмотрим октаэдр Брикара второго типа. Пусть дан самопересекающийся плоский четырёхзвенный механизм ABCD с равными противоположными сторонами AB = CD, BC=AD (рис. 7). Легко показать, что вершины этого четырёхугольника являются вершинами равнобочной трапеции, поэтому вокруг ABCD можно описать окружность. Центр O и радиус R окружности зависят от a = ZABC. Четырёхзвенник ABCD может изменять свою форму с сохранением длин своих сторон (т. е. он может изгибаться), оставаясь на плоскости и имея сторону DC в неподвижном положении. При этом в новых положениях вершины четырёхугольника по-прежнему будут вершинами равнобочной трапеции и новое положение центра O(a) описанной окружности и её радиус R(a) при изгибании четырёхугольника ABCD на плоскости изменяются непрерывно вместе с a. Возьмём теперь над и под точкой O(a) две точки N и S на одинаковом расстоянии h(a) от O(a) (можно и на разных расстояниях, с соответствующими изменениями в дальнейших рассуждениях), таком, чтобы R²(a) + h²(a) = d² = const и соединим N(a) и S(a) отрезками длины d с точками A(a), B(a), C и D. После «обшивки» каркаса плоскими треугольниками получится октаэдр P, у которого есть плоскость симметрии, проходящая через точки N и S перпендикулярно прямой AC, т. е. мы получили октаэдр Брикара второго типа. Его изгибания определяются изгибаниями плоского четырёхзвенногомеханизма ABCD. Удалим из P две грани, дающие самопересечения: NDC и SDC. Останется многогранник Р' с краем, изображённый на рис. 8. Хотя ребра CD и нет, в ходе изгибания многогранника Р' как части P расстояние CD остаётся постоянным, так как оно равно длине ребра CD в октаэдре P.

При этом же изгибании расстояние NS, равное 2h(a), изменяется, поэтому изменяется угол между плоскостями удалённых граней NDC и SDC, причём точки D и C при этом можно считать остающимися на месте. Используем это обстоятельство для того, чтобы изменить двугранный угол на рис. 6, вставив туда соответствующим образом подобранный многогранник Р', который для краткости и большей ясности будем называть «зарубкой Коннелли». Пусть T — биссекторная плоскость, скажем, верхнего двугранного угла на рис. 6. Расположим четырёхзвенник ABCD на плоскости T так, чтобы отрезок DC шёл по ребру двугранного угла, отрезки ND и NC были на одной полуплоскости, а DS и CS были на другой полуплоскости двугранного угла. Части ND и NC, SD и SC края многогранника Р' — «зарубки Коннелли» — прилегают к соответствующим частям граней двугранного угла. Изменение величины b двугранного угла приводит к изгибанию многогранника Р', согласованному с движением граней двугранного угла, в который он был встроен (т. е. рёбра ND и NC, SD и SC края многогранника Р' не изменяют свою длину и остаются на гранях двугранного угла). Расположение точек D и C на ребре двугранного угла может быть выбрано так, чтобы точка a оказалась на отрезке DC, не попадая, однако, на ребро AB, т. е. чтобы изменённый верхний двугранный угол на рис. 6 не касался нижнего двугранного угла. Такое же построение можно провести и в окрестности точки b — второй точки самокасания, причём размеры встроенного многогранника Р' можно подобрать так, чтобы в пределах некоторого изменения раствора двугранного угла не появились новые самопересечения. Таким образом получится изгибаемый многогранник без самопересечений с 26 вершинами.

Рис.10

Легко видеть, что эту конструкцию можно сразу же упростить, а именно, в исходном дважды покрытом прямоугольнике можно оставить на месте грани AND и BSC (см. рис. 3), не заменяя их тетраэдрами, тогда получится изгибаемый многогранник с 24 вершинами.

Существенное упрощение получается, если в исходном октаэдре Брикара добавлять тетраэдры так, чтобы была необходимость использовать «зарубку Коннелли» только один раз, как это предложили П. Делинь и Н. Кёйпер. Делается это так. Отправным положением будет изгибаемый октаэдр Брикара первого типа, изображённый на рис. 9. На нём вершины A и C лежат на горизонтальной плоскости (условно с координатой z = 0), вершины В' и D' подняты на высоту е>0, а вершины N' и S' — на высоту 6>е и всё это проектируется ортогонально на прямоугольник рис. 3 (где L по-прежнему обозначает точку пересечения этого прямоугольника с вертикально расположенной осью симметрии рассматриваемого октаэдра). В новом положении ребро AS' проходит под ребром N'B', ребро N'C — под ребром S'D', так что прежних точек самопересечения нет, но есть новые пересечения граней. Построим теперь «дно» следующим образом: в исходном четырёхгранном угле S'AB'CD' с вершиной S' заменим грань S'CD' тетраэдром вершиной вниз (рис. 10). Краем построенного многогранника

Рис.11

является четырёхугольник AB'CD', но теперь есть «яма» в виде тетраэдра S₀S'CD'. Далее строим «крышу» так. Над фигурой рис. 11 возьмём две точки T и K и построим неполные

Рис.12

пирамиды с гранями N'D'T и D'CT, N'B¹ K и В'СК. Получится многогранник без самопересечений и с двумя четырёхугольными краями AB'CD' и N'KCT (рис. 12). Он п

рис. 12

ересекается с построенным ранее «дном» только вдоль контура AB'CD' и после склеивания «крышки» с «дном» вдоль этого контура получится многогранник (обозначим его Г) без самопересечений и с одним четырёхугольным краем N'KCT.

Рис.13

Многогранник Г изгибается, причём его исходные вершины просто повторяют те движения, которые были у начального изгибаемого октаэдра Брикара первого типа на рис. 9, поэтому, в частности, расстояние N'C остаётся постоянным, так как оно соответствует длине ребра N'C исходного октаэдра. Теперь подберём «зарубку Коннелли» так, чтобы её добавлением закрыть отверстие с краем N'KCT. Для этого выберем положения точек T и K с условием TC = TN=KN=КС, что вполне возможно. Возьмём «зарубку Коннелли» как на рис. 8, но с изменёнными в соответствии с рис. 13 обозначениями вершин и со сторонами TN' = TP = TQ = TC = KN' = KC = KP = KQ. Можем считать, что изгибания многогранника Г происходят с сохранением п

рис. 13

лоскости трёх вершин N', K, T, и точки K и T перемещаются по фиксированной прямой KT так, что середина отрезка KT остаётся неподвижной. Этими условиями движения точек K, T, N' и C, а значит, и остальных вершин многогранника Г определены однозначно. При этих же условиях изгибания «зарубки Коннелли» тоже определяются однозначно, поэтому движения её вершин K, T, N' и C будут теми же самыми, что и у соответствующих вершин многогранника Г. Это значит, что когда мы склеим край N'KCT «зарубки Коннелли» с таким же краем многогранника Г, изгибания Г и «зарубки» будут согласованными. Остаётся позаботиться, чтобы «зарубка» поместилась в «яму», пересекаясь с многогранником Г только по их общему краю, для чего нужно выбрать то положение плоскости механизма PQCN', когда точка Q окажется внутри тетраэдра S₀D'S'C, а точка P — выше треугольника AS' D', и тогда получится изгибаемый многогранник без самопересечений, имеющий 11 вершин и 18 граней.

4. ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХ МЕХОВ

Теорема. Всякая замкнутая многогранная поверхность, не имеющая самопересечений, ограничивает в трехмерном пространстве некоторое тело конечного объема. Гипотеза кузнечных мехов состоит в том, что если мы имеем дело с изгибаемой замкнутой многогранной поверхностью, то объем этого тела остается постоянным в процессе изгибания.

П

Рис.14

ри изгибании объёмы изгибаемых многогранников остаются постоянными. Для многогранника Штеффена это утверждение представляется довольно очевидным ввиду полной симметрии движений: грани одной «половины» многогранника движутся так, что движения граней другой его «половины» восполняют изменяемый при этом объём. Для более убедительного доказательства воспользуемся тем фактом, что обобщённый объём изгибаемых октаэдров Брикара равен нулю (примем это без доказательства). Изменим многогранник Штеффена следующим образом. Добавим две грани DCN1 и DCN₂ и с их помощью образуем многогранник R, составленный из двух октаэдров Брикара (без грани SDC). Комбинаторно это представляется так: у двух многогранников убрали две конгруентные треугольные грани и склеили их вдоль двух одинаковых границ образовавшихся отверстий (рис. 14); в нашем случае убираемой (исчезнувшей) гранью является грань SCD. Обобщённый объём многогранника R равен нулю как сумма двух нулевых объёмов. Оставшаяся часть многогранника Штеффена вместе с добавленными гранями образует новый тетраэдр с вершинами N₁, D, C, N₂. Следовательно, объём многогранника Штеффена в любом его положении в процессе изгибания равен объёму тетраэдра с постоянными длинами рёбер, т. е. в ходе изгибания он не изменяется.

Что касается объёмов изгибаемых многогранников из первых двух примеров, то постоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный выше факт о равенстве нулю обобщённого объёма любого октаэдра Брикара или проводя довольно длинные вычисления.

Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемых многогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого свойства для любого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов». Происхождение этого термина очень простое. Вспомним из физики закон Бойля—Мариотта, который утверждает, что в газах произведение давления на объём постоянно, т. е. pV = const, где p — давление, V — объём газа. Следовательно, если V= const, то и p = const, поэтому гипотезу кузнечных мехов по другому можно переформулировать так: математически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать в виде изгибаемого многогранника с отверстием на грани, так как из таких мехов воздух дуть не будет. Эта гипотеза была сформулирована в 1977—78 гг. рядом авторов. Попытки её опровержения путём построения контрпримеров не привели к успеху, наоборот, все новые примеры изгибаемых многогранников, которые удалось построить, только подтвердили факт неизменности объёма. Теперь ясно, что её и нельзя было опровергнуть. На самом деле, основная теорема об объёме многогранника говорит, что для множества многогранников с данным комбинаторным строением и данным набором длин рёбер существует лишь конечное число возможных значений объёма — все они должны быть среди корней полиномиального уравнения, которых, по известной теореме алгебры, не больше, чем степень полинома. А так как при изгибании происходит непрерывная деформация многогранника, то и объём должен быть непрерывной функцией параметра деформации. А непрерывная функция, которая может принимать только конечное число значений, обязана быть постоянной! Как видим, гипотеза кузнечных мехов, около 20 лет считавшаяся одной из самых красивых и трудных задач метрической теории многогранников, оказалась простым следствием основной теоремы, являющейся обобщением формулы Герона на объёмы многогранников.

Только представьте себе: многогранная поверхность Штеффена будет изгибаться, даже если, сделав ее герметичной, вы заполните ее несжимаемой жидкостью! Из гипотезы кузнечных мехов, в частности, следует, что мехи аккордеона или баяна, заставляют эти инструменты звучать за счет хотя и малых, но все же реальных растяжений и сжатий материала мехов.

Возникает естественный вопрос: имеются ли другие количественные характеристики многогранной поверхности, которые сохраняются в процессе изгибания? Тривиальный пример такой количественной характеристики — площадь поверхности. Значительно менее тривиальный пример строится так. Внутренним двугранным углом при данном ребре замкнутой многогранной поверхности назовем величину двугранного угла при этом ребре, измеренную со стороны тела конечного объема, ограниченного данной поверхностью. Умножим длину ребра многогранной поверхности на величину внутреннего двугранного угла при нем и просуммируем результат по всем ребрам данной замкнутой многогранной поверхности. Полученное число называется средней кривизной многогранной поверхности.

В 1985 году американский математик Р. Александер установил, что любая замкнутая изгибаемая многогранная поверхность сохраняет свою среднюю кривизну в процессе изгибания.

Характеристики

Список файлов курсовой работы