85623 (612528), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Якщо матриця А вироджена, то, якби матриця А^-1 існувала, то добуток, що стоїть в лівій частині рівності (1), був би виродженою матрицею, тоді як насправді матриця E , яка стоїть в правій частині цієї рівності, є невиродженою, оскільки її визначник рівний одиниці. Таким чином, вироджена матриця не може мати правої оберненої матриці. Такі ж міркування показують, що вона не має і ліву обернену матрицю і тому для виродженої матриці обернена матриця взагалі не існує.

Отже, з'ясуємо, які умови має задовольняти матриця А, щоб для неї існувала обернена матриця. Нехай

— довільно вибрана матриця n-го порядку. Матриця

в якій елементами i-го рядка (i=1, 2, ..., п) є алгебраїчні доповнення елементів і-го стовпця матриці А, називається взаємною матрицею для матриці А.

Теорема 1. Визначник det A дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого його рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Теорема 2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника det A на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Беручи до уваги теореми 1, 2 та позначивши через detA визначник матриці A, обчислимо добутки і . Дістанемо

. (2)

Матриця А=(a_іk) називається невиродженою (або неособливою), якщо її визначник відмінний від нуля. Вона називається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю. Із співвідношень (2) випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємна їй матри­ця також буде невиродженою, причому det дорівнює (n-1)-му степеневі det A.

Переходячи від рівностей (1) до рівності визначників, дістанемо

,

звідки, оскільки , .

Теорема 3. Для того щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця ?. Тоді А?=Е. Звідси, за теоремою про множення визначників , тобто . Тому , і, отже, матриця А — невироджена.

Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, як випли­ває з рівностей (2), матриця

є оберненою до матриці А.

Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А^-1. Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А^-1. Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то

САА^-1 = (СA)А^-1 = ЕА^-1= А^-1,

САА^-1 = С(AА^-1) = CЕ= C,

і отже, С=А^-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці A=(a_ik) існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(3)

Співвідношення (3) називають формулою оберненої матриці. Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А^-1 також невироджена. Справді, з рівності АА^-1=Е і теореми про множення визначників випливає, що ; тому матриця А^-1 також невироджена. Оберненою до матриці А^-1, очевидно, є матриця А.

Приклади

1. Для матриці A знайти обернену матрицю.

Рішення. Знаходимо спочатку детермінант матриці А:

Це означає, що обернена матриця існує і ми її можемо знайти по формулі , де А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраїчні доповнення до елементів а_{i j} початкової матриці.

звідки .

2. Знайти матрицю, обернену до матриці.

A =

Знаходимо спочатку визначник матриці A:

= = 1 (-1)⁴⁺¹

= (-1) =

= (-1) 1 (-1)³⁺¹ = -1 0. Отже обернена матриця існує.

Знаходимо алгебраїчні доповнення:

A₁₁=(-1)¹⁺¹ = 2 A₂₁=(-1)²⁺¹ = -1

A₃₁=(-1)³⁺¹ = -1 A₄₁=(-1)⁴⁺¹ = -1

A₁₂=(-1)¹⁺² = -1 A₂₂=(-1)²⁺² = 1

A₃₂=(-1)³⁺² = 0 A₄₂=(-1)⁴⁺² = 0

A₁₃=(-1)¹⁺³ = -1 A₂₃=(-1)²⁺³ = 0

A₃₃=(-1)³⁺³ = 1 A₄₃=(-1)⁴⁺³ = 0

A₁₄=(-1)¹⁺⁴ = -1 A₂₄=(-1)²⁺⁴ = 0

A₃₄=(-1)³⁺⁴ = 0 A₄₄=(-1)⁴⁺⁴ = 1

Підставляючи у формулу (3) знайдені значення, одержуємо:

A^-1 =

Перевірка. Одержаний результат можна легко перевірити.

Оскільки, AA^-1 = E, де E –це одинична матриця, то:

A A^-1 = =

=

=

Отже, обернену матрицю знайдено вірно.

Висновки

Отже, висвітливши основні поняття обернених матриць, можна прийти до висновку, що процес знаходження обернених матриць за допомогою формули є швидким і простим методом аналізу стану певного об’єкта.

Список використаної літератури

1. Ващук Ф.Г., Поляк С.С. Практикум з вищої математики. - Ужгород, 2005. 6 – 24 с.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - Москва, 1968. 95–99 с.

Додаток

Дану задачу можна реалізувати на мові програмування Turbo Pascal

Лістінг програми

Program InversMatrix;

const max_size=10; {max size matrix }

type matr=array[1..max_size,1..max_size] of real;

label 1;

var

a,invers,tmp_matrix : matr;

size : Integer; {size matrix}

i,j :Integer;

dt : real;

procedure PrintMatr(m:matr;n:integer);

var i,j:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

write(m[i,j]:8:3);

writeln;

end;

end;

Function Pow (x:Integer; y:Integer):Integer;

var

i,z :Integer;

begin

z := 1;

for i:=1 to y do

z := z * x;

Pow := z;

end;

procedure GetMatr(a:matr; var b:matr; m,i,j:integer);

var ki,kj,di,dj:integer;

begin

di:=0;

for ki:=1 to m-1 do

begin

if (ki=i) then di:=1;

dj:=0;

for kj:=1 to m-1 do

begin

if (kj=j) then dj:=1;

b[ki,kj]:=a[ki+di,kj+dj];

end;

end;

end;

Function Determinant(a:matr;n:integer):real;

var i,j,k:longint;

b:matr;

d : real;

begin

d:=0; k:=1;

if (n<1) then

begin

writeln('Determinant: Cann''t run. N=',n); halt;

end;

if (n=1)

then d:=a[1,1]

else if (n=2)

then d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2]

else { n>2 }

for i:=1 to n do

begin

GetMatr(a,b,n,i,1);

{writeln('i=',i,' a[',i,',1]=',a[i,1]);

PrintMatr(b,n-1);}

d:=d+k*a[i,1]*Determinant(b,n-1);

k:=-k;

end;

Determinant:=d;

end;

begin

Write('Enter size matrix [1..10] :');

ReadLn(size);

for i:=1 to size do

for j:=1 to size do

begin

Write('a[',i,',',j,']=');

ReadLn(a[i,j]);end;

begin

if determinant(a,size)=0 then

begin write ('matryca vyrudzena,obernenoi ne isnue!');

goto 1; end;

end;

WriteLn('================================================');

WriteLn(' Source matrix ');

WriteLn;

PrintMatr(a,size);

dt:=Determinant(a,size);

WriteLn('================================================');

writeln('Determinant = ',dt:8:3);

{sozdaem matrix is dopolneniy}

for i:=1 to size do

for j:=1 to size do

begin

GetMatr(a,tmp_matrix,size,j,i);

invers[i,j]:=Pow(-1,i+j)*Determinant(tmp_matrix,size-1)/dt;

end;

WriteLn('================================================');

WriteLn(' Inverse matrix ');

WriteLn;

PrintMatr(invers,size);

1:readln;

end.

Контрольні приклади

Приклад 1.

Вхідні дані –

Розмірність матриці – 3

1 2 3 -2.00 4.00 -1.00

1 1 2 → обернена матриця→ 0.00 -1.00 0.00

1 0 2 1.00 -2.00 1.00

Приклад 2.

Вхідні дані –

Розмірність матриці – 4

обернена матриця

Характеристики

Список файлов курсовой работы