85557 (612514), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

N(X) / 4X² → 1 / |αδ - βγ| (X → ∞).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что число точек решётки в квадрате ζ (Х), грубо говоря, равно числу параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь, приблизительно равно площади квадрата ζ (Х), делённой на площадь |αδ - βγ| одного параллелограмма. Строго положительное число

d () = |αδ - βγ| (8)

называется определителем решётки . Как было только что показано, это число не зависит от выбора базиса.

Критические решётки.

Используя введённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существовании целых решений неравенства f(х₁,х₂) (4D/3)^1/2 эквивалентно утверждению о том, что любая решётка в области

Х₁² + Х₂² ≤ (4/3)^1/2 d() (9)

имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1 (10)

содержит точку каждой решётки , для которой d() < (3/4)^1/2. А тот факт, что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим, эквивалентен существованию решётки _с с определителем d(_с) = (3/4)^1/2, не имеющей точек в круге Đ. Таким образом, задача о произвольной определённой бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области Đ и произвольной решётке. Аналогично исследование решёток с точками в области

| Х₁ Х₂| < 1

даёт информацию о минимумах inf |f(u₁,u₂)| неопределённых бинарных квадратичных форм f(x₁,x₂). Здесь точная нижняя граница берётся по всем целым числам u₁ и u₂, не равным одновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что решётка допустима для области (точечного множества) в плоскости {Х₁,Х₂} если она не содержит никаких других точек , кроме, может быть, начала координат. Последний случай возможен, когда начало координат является точкой области . Тогда мы говорим, что эта решётка -допустима. Точная нижняя грань Δ() определителей d(Λ) всех -допустимых решёток является константой области . Если -допустимых решёток не существует, то полагаем, что Δ() = ∞. Тогда любая решётка Λ, для которой d(Λ) < Δ(), обязательно содержит точку области , отличную от начала координат. -допустимая решётка Λ, для которой d(Λ) = Δ(), называется критической (для ). Конечно, критические решётки, вообще говоря, существуют не всегда.

Важность критических решёток была замечена уже Минковским. Если _с – критическая решётка области , а решётка Λ получена из Λ_с небольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо решётка Λ имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области , либо d(Λ) ≥ d(Λ_с). Либо и то, и другое вместе.

В качестве примера можно снова рассмотреть открытый круг

Đ: Х₁² + Х₂² < 1.

Предположим, что Λ_с – критическая решётка области Đ. Ниже будет дан набросок доказательства того, что если критическая решётка существует, то она должна иметь три пары точек (А₁, А₂), (В₁, В₂), (С₁, С₂) на границе Х₁² + Х₂² = 1 круга Đ.

Если Λ_с не имеет точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1, то можно будет получить Đ-допустимую решетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая решетку Λ_с к началу координат, то есть рассматривая решетку = tΛ_с точек (tX₁, tX₂), где (Х₁, Х₂) Λ_с , а t — это фикси­рованное число с условием 0 < t < 1. Тогда d() = t²d(_c) < d(_c) и, очевидно, будет Đ-допустимой решеткой, если t достаточно близко к 1. Таким образом, решетка _c содержит пару точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1, координаты которых после надлежащего поворота осей мы можем считать равными ± (1, 0).

Если бы на окружности Х₁² + Х₂² = 1 не было бы больше точек решетки _c, то мы смогли бы получить Đ-допустимую решетку с меньшим определителем, сжимая решетку _c в направлении, пер­пендикулярном оси X₁, то есть принимая за решетку точек (Х₁, tХ₂), где (Х₁, Х₂) Λ_с, а t достаточно близко к 1.

Наконец, если бы Λ_с имела бы только две пары точек ±(1, 0), ± (В₁, В₂) на границе, то решетку можно было бы слегка деформиро­вать так, чтобы точка (1, 0) осталась на месте, а точка с координатами (В₁, В₂) продви­нулась бы вдоль окружности Х₁² + Х₂² = 1 ближе к оси Х₁. Наглядно это представлено на рисунке:

Данная операция, как легко проверить, уменьшает определитель, и при небольших деформациях получающаяся решётка Λ остаётся Đ-допустимой. Действительно, (1,0) и (В₁, В₂) можно рассматривать как базис решётки Λ_с, так как треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В₁, В₂), а следовательно, и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В₁, В₂) не содержит внутри себя точек Λ_с. Тогда критическая решётка Λ_с (если она существует) должна иметь три пары точек на окружности Х₁² + Х₂² = 1. Легко увидеть, что единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на окружности Х₁² + Х₂² = 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка Λ ́ с базисом

(1, 0), (1/2, √3/4).

Она содержит вершины правильного шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, √3/4), ±(-1/2, √3/4),

лежащие на окружности Х₁² + Х₂² = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х₁² + Х₂² < 1. Таким образом, мы по­казали, что если Đ имеет критическую решетку, то Δ(Đ) = d(Λ ́) = (3/4)^1/2. Минковский показал, что критические решетки существуют для довольно широкого класса областей , показав, грубо говоря, что любую -допустимую решетку Λ можно постепенно деформи­ровать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднородная задача”

Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х₁,…,x_n) — некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х₁, . . ., х_n. Требуется подобрать постоянное число k со следующим свойством: если ξ₁, ..., ξ_n — любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u₁,…,u_n, что

│f(ξ₁ – u₁,…, ξ_n – u_n)│≤ k.

Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2. Пусть — мно­жество таких точек (х₁, х₂) двумерной евклидовой плоскости, что

│f(x₁, …, x_n)│≤ k.

Пусть u₁, u₂ — любые целые числа; обозначим через (u₁, u₂) об­ласть, полученную из параллельным переносом на вектор (u₁, u₂); иными словами, (u₁, u₂) есть множество таких точек х₁, х₂, что

│f(х₁ – u₁, х₂ – u₂)│≤ k.

Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области (u₁, u₂) покрывали всю плоскость. Желательно выбрать k, а значит и , наименьшим из всех возможных (но так, чтобы свой­ство покрывать всю плоскость сохранилось). Здесь мы имеем про­тивоположность постановке однородной задачи, приведённой выше, где цель состояла в том, чтобы сделать области наибольшими, но все еще не пересекающимися одна с другой.

Список литературы.

1. Касселс, Дж. В. С. Геометрия чисел – М., Мир, 1965г.

2. Минковский Г. Геометрия чисел – Лейпциг, 1911г. (переиздание 1996г.)

3. Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя – СПб., 1948г.

4. Чеботарёв М. Г. Заметки по алгебре и теории чисел – УЧ Зап. Каз. Унив-та, 1934г. (переиздание 1994г.)

5. Чеботарёв М. Г. Доказательство теоремы Минковского о неоднородных линейных формах – М., Мир, 1949г.

Характеристики

Список файлов курсовой работы