85522 (612500), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обратно, пусть --- -холловская подгруппа и пусть --- -проектор в . Так как , то --- -подгруппа и .

Лемма 22Если --- радикальныи класс, то .

Доказательство. Если , то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .

Обратно, пусть , тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.

Лемма 23Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если --- -холловская в подгруппа, то и --- -подгруппа. Поэтому .

Обратно, если --- -холловская подгруппа в , то . Если --- -инъектор, то и --- подгруппа, поэтому . Лемма доказана.

Пусть , где --- пробегает все группы из . Если --- разрешимый радикальный класс, то .

Следствие 24Пусть --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .

Доказательство получаем из лемм 23 и 21.

Следствие 25Пусть --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .

Обозначим через совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.

Теорема 26Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .

Пусть --- подгруппа Фиттинга. Так как --- -инъектор в , то по лемме 23 подгруппа является -холловской подгруппой в .

Так как нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме 23. Поскольку , то - -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, --- -холловская подгруппа.

Следствие 27Пусть --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Замечание. Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .

Теорема 28Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .

Доказательство. Предположим, что не содержится в , и пусть --- группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и --- -подгруппа в , то и .

Пусть --- -биектор в . Тогда --- -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как --- гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .

Следствие 29Если --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Следствие 30 Если --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Для натурального числа через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при --- класс всех метанильпотентных групп.

Лемма 31Для любого натурального числа , класс является радикальной насыщенной наследственной формацией.

Доказательство. Применим индукцию по . При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)

Но класс состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому

Согласно следствию (2) класс насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.

Лемма 32Пусть --- разрешимая группа и . Если --- -проектор группы , то .

Доказательство. Поскольку --- насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию 14. Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.

Теорема 33Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .

Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме 12 и следствию 14. По индукции ,следовательно, --- максимальная подгруппа группы .

Так как -- -инъектор группы , то -радикал и . По теореме 15,

(2)

Поскольку - -проектор группы , то и согласно лемме 32. Следовательно,

(3)

Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.

Заметим что в условии этой теоремы требование не является лишним. Для в симметрической группе силовская -подгруппа является -биектором.

Заключение

В данной курсовой работе было показано, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема1 34Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Теорема2 35Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .

Теорема 336 Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .

Список использованных источников

11[] Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156

22[] Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006

33[] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.

44[] Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.

55[] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.

Характеристики

Список файлов курсовой работы