85515 (612498), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Т огда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:

,

В частности, если С – середина отрезка АВ, то

,

Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М₁ (х₁, у₁) и ненулевым вектором , параллельным прямой l (рис. 3).

Вектор будет называться направляющим вектором прямой l .

Пусть М (х, у) – произвольная точка прямой l . Тогда, согласно условию, векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство , или

= ₁ + t,

где t – некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

При и эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:

Если прямая задана двумя различными точками: А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то вектор = (х₂ - х₁, у₂ - у₁) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х₁ х₂ и у₁ у₂ получаем уравнение

,

которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При получим уравнение:

у - у₁ = k (х - х₁),

где . Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х₁ = 0 и у₁ = b, уравнение принимает вид

Если же , то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так:

х = х₁.

Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.

При уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где

,

Если же В = 0 и , то оно принимает вид х = а, где .

1.5. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.

Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, , }; так что || = || = 1, перпендикулярен .

П ри решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.

Пусть даны две точки: А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂). Тогда, как известно,

.

Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:

.

Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А (х₁, у₁):

.

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), вычисляется по формуле

У гловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где – величина угла от оси абсцисс до прямой l.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k₁х + b₁ и у = k₂х + b₂.

Если l₁ || l₂, то , поэтому k₁ = k₂, и обратно, т.е. условие k₁ = k₂ выражает признак параллельности прямых l₁ и l₂.

Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l₁ и l₂ (рис. 6).

Так как и , , то

или

Полученную формулу для вычисления угла от прямой l₁ до прямой l₂ можно записать и так:

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k₁k₂ = - 1, т.е. условие k₁k₂ = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l₁ и l₂.

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

1.6. Аналитическое задание геометрических фигур.Аналитическое условие и геометрические фигуры.

После того как на плоскости введена система координат, мы получаем возможность рассматривать на этой плоскости такие множества точек (а они - то и образуют те или иные геометрические фигуры), координаты х, у которых удовлетворяют тем или иным условиям (ограничениям). Эти условия могут носить характер уравнений, неравенств или систем уравнений и неравенств. Обратно, если на плоскости имеется некоторая геометрическая фигура (т.е. некоторое множество точек этой плоскости), то возникает задача нахождения аналитических условий, связывающих координаты х, у точек плоскости, которым удовлетворяют координаты всех точек данной фигуры и не удовлетворяют координаты никаких точек плоскости, не принадлежащих этой фигуре.

Аналитические условия, связывающие две переменных х, у и характеризующие фигуры Ф, с точки зрения математической логики представляют собой двухместный предикат Р(х, у), заданный на множестве вещественных чисел: х, у R. Множество истинности этого предиката как раз и представляют собой такое множество пар действительных чисел х, у, которые служат координатами точек фигуры Ф и только таких точек. Этот факт записывают следующим образом:

Ф = {М(х, у): Р(х, у) – истинно}.

При этом, нетрудно понять, что если предикат Р(х. у) представляет собой конъюнкцию двух предикатов P₁(х, у) Р₂ (х, у), то фигура Ф есть пересечение двух фигур Ф = {М (х, у): Р₁ (х, у) Р₂ (х, у) – истинно} = {М (х, у): Р₁ (х, у) – истинно} {М (х, у): Р₂ (х, у) – истинно} = Ф₁ Ф₂.

Аналогично, если предикат Р(х, у) представляет собой дизъюнкцию двух предикатов P₁(х, у) Р2 (х, у), то фигура Ф есть объединение фигур Ф = Ф₁ Ф₂.

Итак, при координатном подходе к изучению геометрических фигур выделяются две взаимно обратные задачи:

1. по заданным геометрическим свойствам фигуры Ф составить аналитические условия Р (х, у), определяющие эту фигуру;

2. по заданным аналитическим условиям Р (х, у), определяющим фигуру Ф, выяснить её геометрические свойства.

Составление аналитических условий, определяющих фигуру.

Здесь по геометрическому описанию фигуры Ф требуется сформулировать такие аналитические условия Р(х, у), что будут справедливы два утверждения:

а) если точка М(х, у) Ф, то её координаты х, у удовлетворяют условиям Р(х, у), т.е. будучи поставлены в этот предикат, превращают его в истинное утверждение (высказывание);

б) если координаты точки М(х, у) удовлетворяют условиям Р(х, у), то М Ф.

Ясно, что второе утверждение можно заменить равносильным ему утверждением:

б`) если точка М не принадлежит фигуре Ф, то её координаты не удовлетворяют условию Р(х, у).

Практически это делается так. На данной фигуре Ф берется произвольная (или, как говорят, текущая) точка М(х, у) с текущими координатами х, у и отыскивается (необходимые и достаточные) условия принадлежности точки М фигуре Ф, т.е. строится некая модель этой геометрической ситуации (принадлежности М Ф). Затем в этой модели найденные условия переводятся на аналитический язык, т.е. на язык аналитической взаимосвязи текущих координат х, у текущей точки М.

Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат R = {O, , }. Составим аналитические условия, определяющие правую полуплоскость с граничной прямой Оу вместе с её границей. Таким условием будет неравенство , т.е. правая полуплоскость состоит из тех и только тех точек М(х, у), первые координаты которых (абсциссы) неотрицательны, поскольку все точки правой полуплоскости этим свойством обладают, а никакие точки, не принадлежащие правой полуплоскости (т.е. принадлежащие левой плоскости без граничной прямой Оу), этим свойством не обладают ( для них

).

Аналитические условия, определяющие I координатную четверть, представляют собой конъюнкцию двух предикатов: , которые задают эту четверть как пересечение двух полуплоскостей: верхней (задаётся условием ) и правой (задается условием ). Аналогично, II четверть: ; III четверть: ; IV четверть: .

Из рассмотренных примеров видим, что аналитическое задание линий (или, как еще говорят, кривых линий, или, короче, кривых) приводит к уравнениям с двумя неизвестными х, у вида:

F (х, у) = 0

Здесь следует отметить, что дать строгое определение понятию линии в том адекватном смысле, в каком мы осознаем эти математические объекты с интуитивной точки зрения, весьма непросто. Понятие линии является одним из сложных понятий математики. Самое общее определение этого понятия рассматривается в топологии. Это понятие впервые было определено математиком П.С. Урысоном в 20-х годах XX века. Ограничимся пока следующими двумя определениями.

Определение. Уравнением данной линии L в заданной системе координат R = {О; ₁, ₂} называется такое уравнение F (х, у) = 0 с двумя неизвестными х, у, которому удовлетворяют координаты х, у каждой точки этой линии (т.е. будучи представлены в это уравнение превращают его в верное равенство) и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этой линии.

М (х, у) – текущая точка линии L; х, у – текущие координаты.

Определение. Линией, определяемой уравнением F (х, у) = 0 в заданной системе координат R = {О; ₁, ₂}, называется множеством (или совокупность, или геометрическое место) всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Характеристики

Список файлов курсовой работы