85133 (612468), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Следовательно, интеграл

дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):

Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интег­ралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометриче­ская площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно до­казать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.

Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим

или в более удобной форме

(А)

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const , мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах измене­ния у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла

(Б)

Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.

.Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного ин­теграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному.

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобре­тают особенно простой вид, когда область D является прямоуголь­ником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внеш­него, но и внутреннего интегралов:

В других случаях для сведения двойного интеграла к повтор­ному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет про­изводиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.

Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.

а) Примеры.

1) Приведем к повторному двойной интеграл если область D- треугольник,

Рис. 6. Рис. 7.

ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сна­чала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование произво­дится от линии у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому

Меняя порядок интегрирования, получим

2) Приведем к повторному интеграл если область D ограничена линиями у=0, у=х² и х+у=2.

Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис. 158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по x, а потом по y:

Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на разных участках разные уравнения.

Рис.8

Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим

Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному, пользуясь формулами (А) и (Б).

Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции

по прямоугольной области D

Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы

(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью .

Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:

2) Вычислим двойной интеграл

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x². Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями и плоскостью z=0 (рис.14,а).

Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y². Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы с линией пересечения цилиндра z=4-y² и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :

Следовательно, куб.ед.

4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью и плоскостью Oxy.

Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоско­стью Оху по эллипсу

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом

В силу симметрии тела относи­тельно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

Подстановка даёт

откуда

3.Приложения двойных интегралов к задачам

механики.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плос­кости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке назы­вается предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функ­цией ее координат:

Если бы плотность была постоянной ( ), то масса всей пластинки равнялась бы , где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией . Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области с площадями (рис. 16). Выбирая в каждой частичной области произвольную точку , будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотнос­ти в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интег­ральной суммы

(*)

Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда

б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках массы соответствующих частич­ных областей и найдем статические моменты полученной сис­темы материальных точек :

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Находим координаты центра тяжести :

Если пластинка однородна, т.е. то формулы упрощаются :

где S - площадь пластинки.

в) Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что :

Отметим еще, что интеграл называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

Характеристики

Список файлов курсовой работы