49829 (609311), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В целом можно сказать, что процесс моделирования сводится к трем объектам:

система (реальная, проектируемая, воображаемая);

математическая модель системы;

алгоритмическая модель системы.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

определение (формирование) системы исследования;

построение математической модели системы;

разработка алгоритм решения модели.

2. Основные понятия теории упругости

2.1 Напряжения

Б
удем рассматривать следующий случай: возьмем призматический стержень, который растягивается под действием сил, равномерно распределённых по его концевым сечениям, внутренние силы распределены равномерно по поперечному сечению стержня АВ, напряжения можно найти, разделив полное значение растягивающей силы Р на площадь поперечного сечения F.

В общем случае напряжения по сечению распределены неравномерно, чтобы определить значение напряжения в некоторой точке этой плоскости, возьмём элементарную площадку δF в окрестности данной точки и предположим, что силы, возникающие на этой площадке, сводятся к равнодействующей δP. Если теперь равномерно стянуть элементарную площадку δF, то в пределе получится отношение δP/δF, которое определит величину напряжения, возникающего на плоскости АВ в некоторой точке. Направление этого напряжения будет совпадать с направлением равнодействующей δP. В общем случае напряжение направлено под некоторым углом к площадке δF, на которой оно действует, и обычно раскладывается на две составляющие: нормальное напряжение, перпендикулярное к площадке δF, и касательное напряжение, действующее в плоскости площадки.

2.2 Деформации

При рассмотрении деформации в упругом теле предполагается, что

Существуют ограничения, препятствующие перемещению его как жёсткого тела. Таким образом, какое-либо перемещение частиц тела может происходить лишь за счёт его деформации. Малые перемещения частиц при деформировании тела разложим по составляющим u, v, параллельные соответствующим осям координат x, y. Можно предположить, что эти малые величины непрерывно изменяются по всей площади тела.

Рассмотрим бесконечно малый элемент dxdy вблизи точки О тела.

Можно показать, что относительное удлинение по направлению оси y задается производной.

Рассмотрим теперь изменение угла между отрезками ОА и ОВ, которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Если u и v - перемещения точки О в направлениях осей x и y, то перемещения точки А в направлении оси у и точки В в направлении оси х будут соответственно равны. Поэтому первоначально прямой угол АОВ между отрезками ОА и ОВ уменьшается на величину, которая представляет собой деформацию сдвига между осями х и у.

3. Основная концепция метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещений и т.п.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. В качестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полинома определяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, но для удобства математических выкладок их принимают правильной геометрической формы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные, двумерные и трехмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равно или больше количества вершин. В зависимости от этого качества можно проводить классификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-, комплекс - и мультиплекс-элементы.

Симплекс элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

;

Здесь коэффициентов столько сколько узлов.

Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплекс элемента может быть такой же как и у симплекс-элемента, но комплекс элементы имеют количество узлов больше количества вершин.

Интерполяционный полином для двумерного треугольного комплекс элемента имеет вид:

Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.

Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс-элемента тем, что его границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.

Границы и поверхности конечного элемента геометрически могут быть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечного элемента.

4. Характеристики тетраэдрального элемента

4.1 Функции перемещений

На фигуре 1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в системе координат x, y, z.

Перемещение любой точки определяется тремя компонентами u, v, w в направлениях координат x, y, z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид

. (1)

Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3) можно записать, например,

. (2)

Приравнивая эти выражения перемещением узловых точек, получаем четыре уравнения типа

и т.д. (3)

из которых определяются коэффициенты .

Запишем теперь соотношение (2) в следующей форме, с использованием определителя

(4), где

(5а)

Величина V в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами обозначены определители

(5б)

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, p, m.

Как видно из фигуры 1, узлы i, j, p, m пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.

Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов:

(6) где

и т.д.

Перемещение произвольной точки можно записать в виде

(7)

где скалярные величины определяются соотношениями

и т.д.

А I - единичная матрица размерности 3*3.

Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах между элементами. Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений.

4.2 Матрица деформации

В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде

(9)

С помощью соотношений (4) - (7) легко убедиться, что

(10) где

. (11)

Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.

Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шестикомпонентного вектора, имеющего, например, для изотропного теплового расширения простой вид:

(12)

где - коэффициент линейного расширения, а - средняя по элементу температура.

4.3 Матрица упругости

В случае материала с изотропией свойств матрица [D], связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более чем 21 независимую постоянную.

В общем случае

. (13)

Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу [D] только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v - матрица имеет вид

(14)

4.4 Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок

Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случае соотношением , можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постоянны внутри элемента.

Подматрица с индексами rs матрицы жесткости имеет размерность 3*3 и определяется соотношением

, (15)

где V - объем тетраэдра.

Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, записываются в виде

, (16) или для i-ой компоненты

.

5. Математическая и дискретная модели

5.1 Математическая модель

Математическая модель системы включает геометрическую, структурную, механико-математическую модели, краевые условия и условия равновесия системы.

Геометрическая модель представляет собой параллелепипед, размеры которого определяются нулевыми перемещениями на его ребрах.

Механико-математическая модель системы “плита-основание”: для основания s_i=E _ie_i, для плиты s_i=E’e_i, E’>>E_i, где E’, E_i -модули упругости основания и плиты, s_i, e_i -интенсивности напряжений и деформаций.

Краевые условия области определения системы “плита-основание": перемещения на всех ребрах, кроме верхнего равны нулю, на верхнем ребре области определения на поверхности плиты задается внешняя нагрузка.

5.2 Дискретная модель

Процесс дискретизации разделяется на 2 этапа:

Разбиение области на подобласти. Подобласти характеризуются стационарностью определяющих характеристик: свойства материала, прилагаемая нагрузка.

Разбиение подобластей на конечные элементы. Подобласти разбиваются на симплекс-элементы.

Дискретизация производится элементами малых размеров. Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещения по известным формулам. В узлах элементов вводятся силы, статистически эквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам, приложенным к нему.

Разбивка на элементы производится так, что в пределах одного элемента участок среды рассматривается как однородный. Любой другой элемент, оставаясь однородным, может характеризоваться свойствами, отличными от соседних элементов. Таким образом, система в целом представляет неоднородную среду.

Характеристики

Список файлов курсовой работы