150976 (598898), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

_(2.1)

Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис.2.5).

Рис.2.5

Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.

Отметим и используем в дальнейших рассуждениях следующее свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.

Определение скорости точки в координатной системе отсчета

На основании свойства производной определим скорости изменения координат точки

(2.2)

Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен

_(2.3)

Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов

где - углы между вектором скорости и осями координат.

Определение скорости точки в естественной системе отсчета

Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки

V= (2.4)

Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях nb определяется только одной проекцией .

Ускорение точки

По определению ускорение характеризует изменение скорости, т.е. скорость изменения скорости.

Ускорения точки в векторной системе отсчета

На основании свойства производной

, (2.5 )

Вектор скорости может изменяться по модулю и направлению. Для определения приращения вектора совместим начала векторов (рис.2.6). Вектор ускорения направлен по линии приращения вектора скорости, т. е. В сторону искривления траектории.

Рис.2.6

Ускорение точки в координатной системе отсчета

Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат

a_x= ; a_y= ; a_z= .

Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением

а = , (2.6)

Направляющие косинусы вектора ускорения

.

Ускорение точки в естественной системе отсчета

Приращение вектора скорости (рис.2.7) можно разложить на составляющие, параллельные осям естественной системы координат

, (2.7)

Разделив левую и правую части равенства (2.7 ) на dt, получим,

, (2.8)

где: - тангенциальное ускорение, (2.9)

- нормальное ускорение, (вывод см .[1], п.43)

где R - радиус кривизны траектории в окрестности точки

Рис. 2.7

2.3. Кинематика твердого тела

В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:

- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;

- определение кинематических характеристик точек тела.

Способы задания и определения кинематических характеристик зависят от типов движения тел.

В настоящем пособии рассматриваются три типа движения: поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси и плоско-параллельное движение твердого тела

2.3.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называют движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.2.8).

Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.2.8).

Вывод: Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

2.3.2 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Положение тела определяется углом поворота (рис.2.9 ). Единица измерения угла – радиан. (Радиан - центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2 радиана.)

Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси = (t). Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования

- угловая скорость, рад/с; (2.10)

- угловое ускорение, рад/с² (2.11)

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси его точки, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям с центром на оси вращения.

Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точка М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R (рис. 2.9). За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .Определим модуль линейной скорости:

( 2.12 )

Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим, см.(2.8)

,

где: ; .

Подставляя в формулы выражение (2.12) получим:

, . , (2.13)

где: - тангенциальное ускорение,

-нормальное ускорение.

2.3.3. Плоско - параллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.2.10). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.

В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса (рис.2.11). В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Уравнения движения запишутся в виде:

Х _А = Х_А (t)

Y_А = Y_А (t) ( 2.14 )

_А = _А (t)

Кинематические характеристики полюса определяют из уравнений его движения.

Скорость любой точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости слагается из скорости полюса (произвольно выбранной в сечении точки А) и скорости вращательного движения вокруг полюса (вращение точки В вокруг точки А).

Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.

(2.15 )

(2.16 )

Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P (рис.1.12). В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения

_{(2.17 )}

Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.

(2.18)

Рис.2.12

Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:

• вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;

• модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения ( V= ∙R) ;

• скорость в центре вращения равна нулю.

Рассмотрим некоторые случаи определения положения мгновенного центра.

1. Известны направления скоростей двух точек плоской фигуры (рис.2.13). Проведем линии радиусов. Мгновенный центр вращения Р находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей.

2. Скорости точек А и В известны, причем вектора и параллельны друг другу, а линия АВ перпендикулярна (рис. 2. 14). В этом случае мгновенный центр вращения лежит на линии АВ. Для его нахождения проведем линию пропорциональности скоростей на основании зависимости V= R.

3. Тело катится без скольжения по неподвижной поверхности другого тела (рис.2.15). Точка касания тел в данный момент имеет нулевую скорость в то время, как скорости других точек тела не равны нулю. Точка касания Р будет мгновенным центром вращения.

Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15

Кроме рассмотренных вариантов скорость точки сечения может быть определена на основании теоремы о проекциях скоростей двух точек твердого тела.

Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.

Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно,

V_А cos не может быть больше или меньше V_В cos (рис.2.16 ).

Рис. 2.16

Вывод: V_Аcos =V_Вcos. (2.19 )

2.4. Сложное движение точки

В предыдущих параграфах рассматривалось движение точки относительно неподвижной системы отсчета, так называемое абсолютное движение. В практике встречаются задачи, в которых известно движение точки относительно системы координат, которая движется относительно неподвижной системы. При этом требуется определить кинематические характеристики точки относительно неподвижной системы.

Принято называть: движение точки относительно подвижной системы – относительным, движение точки вместе с подвижной системой – переносным, движение точки относительно неподвижной системы – абсолютным. Соответственно называют скорости и ускорения:

-относительные; - переносные; -абсолютные.

Согласно теореме о сложении скоростей абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей (рис.).

, (2.20)

Абсолютное значение скорости определяется по теореме косинусов

, (2.21)

Рис.2.17

Ускорение по правилу параллелограмма определяется только при поступательном переносном движении

Характеристики

Список файлов книги