150249 (598863), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Закон затухаючих коливань визначається властивостями коливальних систем. Звичайно розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи.

Лінійними системами являються, наприклад, пружинні маятники при малому розтягуванні пружини (коли слушний закон Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежить ні від струму в контурі, ні від напруги.

Різні по своїй природі лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, що дозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору, а також проводити їх моделювання, в тому числі і на ЕВМ.

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді:

,

де S – коливальна величина, що описує той чи інший фізичний процес,

- const - коефіцієнт затухання,

- циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при = 0 (при відсутності втрат енергії).

Рішення рівняння у випадку малих згасань ( )

,

де - амплітуда затухаючих коливань, а – початкова амплітуда.

Рис.

Проміжок часу , за який час амплітуда затухаючих коливань зменшується в е разів, зветься часом релаксації.

Якщо затухання мале, то можна умовно користуватись поняттям періоду як проміжок часу між двома послідовними максимумами (чи мінімумами) коливальної фізичної величини. Тоді період затухаючих коливань з урахуванням формули

рівняється .

Якщо A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, що відрізняються на період, то відношення

називається декрементом затухання, а його логарифм

- логарифмічним декрементом затухання;

N – число коливань, здійснюваних за час зменшення амплітуди у е разів.

Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротності Q яка при малих значенням логарифмічного декремента дорівнює

, а поскільки згасання невелике ( ) то Т прийнято рівним .

Застосуємо висновки, одержані для вільних затухаючих коливань лінійних систем, для коливань різної фізичної природи, для пружинного маятника масою m , що здійснює малі коливання під дією пружної сили F = -кх, сила тертя пропорційна швидкості, тобто , де r – коефіцієнт опору; знак мінус указує на протилежні напрямки тертя і швидкості.

За даних умов закон руху маятника матеме вигляд:

Використовуючи формулу і вважаючи, що коефіцієнт затухання , одержимо диференціальне рівняння затухаючих коливань маятника:

Маятник коливається по закону з частотою .

Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань заряду в контурі (при R 0) має вигляд:

.

Коефіцієнт затухання також коливання заряду здійснюються за законом з частотою , добротність коливального контура .

На закінчення відмітимо, що при збільшенні коефіцієнта затухання період затухаючих коливань зростає і при обертається в безкінечність, тобто рух перестає бути періодичним. В даному випадку коливальна величина асимптотично наближається до нуля, коли t . Процес не буде коливальним. Він зветься аперіодичним.

2. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ

Затухання коливань пов’язано з затратою енергії коливальної системи для подолання опору. Для того, щоб в реальній коливальній системі одержати незагасаючі коливання, потрібно компенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива з допомогою будь-якого періодично діючого фактора, що змінюється по гармонічному закону.

Коливання, що виникають під дією зовнішньої сили, називаються вимушеним и коливаннями.

Вимушені коливання здійснюють, наприклад, корпус і фундамент машин при обертанні неврівноваженого ротора; мембрана гучномовця під дією магнітного поля збуджуваного змінним струмом; струм, збуджуваний в атомі прибуваючими сигналами і наводящими в контур змінну ЕРС та інші.

Якщо розглядати механічні коливання, то зовнішня спонукаюча сила .

Закон руху для пружного (фізичного) маятника має вигляд:

,

де - циклічна частота коливань спонукаючої сили.

Загальне рішення цього неоднорідного диференціального рівняння являє собою суму вільних і вимушених коливань, тобто

.

Але перша складова має помітну роль тільки в початковій стадії процесу (встановлення коливань), оскільки вільні коливання швидко затухають (рис.1).

Рис.1

Для одержання незгасаючих електромагнітних коливань необхідно зовні підводити енергію, яка б компенсувала втрати на Ленц-джоулеве тепло і випромінювання контура. В цьому випадку відбуватимуться не вільні, а вимушені електромагнітні коливання.

Для здійснення таких коливань необхідно включити в коливальний контур джерело струму, що має ЕРС.

Рис.2

Розглянемо найпростіший випадок вимушених електромагнітних коливань в контурі, що відбувається під дією синусоідальної ЕРС.

,

де - амплітудне значення (амплітуда ЕРС), -циклічна частота.

Для одержання диференціального рівняння вимушених електромагнітних коливань достаньо в закон Ома для однорідного коли iR = + підставити значення - падіння потенціалу на конденсаторах і замінити сумою спонукаючої ЕРС і ЕРС самоіндукції:

.

Враховуючи, що

,

одержимо:

.

Рішення диференціального рівняння можна представити у вигляді:

,

,

де - зсування фаз між q і зовнішньою (ЕРС). Підставляючи в ці вправи значення і одержимо:

.

.

Поділивши q на ємність С, одержимо значення напруги на конденсаторі, продиференціювавши функцію ( q(t) ) по t , знайдемо установлений струм у контурі.

,

,

.

Якщо - зсув фаз між струмом і зовнішньою ЕРС, то

,

тобто .

Амплітудне значення струму визначається виразом:

.

Ця формула має схожість з законом Ома в тому розумінні, що амплітуда напруги пропорційна амплітуді струму. Тому формулу

.

ВИСНОВКИ

Коливання, амплітуда яких з часом зменшується, називаються затухаючими.

Закон затухаючих коливань визначається властивостями системи.

Основними параметрами затухаючих коливань являються початкова амплітуда, частота (період) затухаючих коливань, коефіцієнт затухання та добротність, а також час релаксації і кількість коливань в системі за час релаксації.

Вивчаючи коливальні системи з малими затуханнями, які мають широку область застосування, особливо в техніці зв’язку. Але є практичні випадки використання коливальних систем з різким затуханням, або аперіодичних.

Незатухаючі коливання, які підтримують за допомогою зовнішньої періодично діючої сили називають вимушеними.

Частота встановлених вимушених гармонічних коливань дорівнює частоті дії зовнішньої гармонічної сили.

ЛІТЕРАТУРА

1. Кучерук І.М., Горбачук І.Г. Загальна фізика. Електроніка і магнетизм.- К.:Вища школа, 1990. §

2. Савельев И.В. Курс физики, т.3, Квантовая физика.-М.: 1989. §

3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высшая школа, 1985, 432 с. §

4. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики (Оптика. Фізика атома і атомного ядра. Молекулярна фізика і термодинаміка), т.2,-Київ.: Либідь, 2001, - 421 с. §

Характеристики

Список файлов книги