112801 (591182), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).

Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.

Цели:

1. повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;

2. повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов;

3. решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.

Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.

Ход урока:

1) Организационный момент.

2) Актуализация знаний.

П роводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.

3)Решение задач.

На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. Найдите: tg α.(рис.1).

Задача 2.Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, DO (ABC), AB = 3·DO. Найдите: α.(рис2).

Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было сделано на уроке).

Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.)

Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B₁D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B₁D и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).

Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a . Угол между смежными боковыми гранями равен 2α . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.[12],[13]

Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.

Приложение2.

Различные доказательства теоремы Эйлера.

Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) – одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь – слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых – математиков и педагогов России.

Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».

В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.

Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В – вершин, Р - ребер ):

Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.

Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.

1. Н аиболее распространенный способ, берущий свое начало в работе самого Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши (1789 - 1857) «Исследование о многогранниках» (1811 г.), заключается в следующем.

Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис 3), содержащая Г′=Г-1 областей (которые по-прежнему назовем гранями), В вершин и Р ребер (которые могут искривляться).

Для данной сетки нужно доказать соотношение

Г′+В-Р=1, (**)

тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).

Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.

(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.

Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г′=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:

1. как ∆ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,

(Г′+1)+(В+1)-(Р+2)=Г′+В-Р;

1. Как ∆MNL. Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,

(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.

Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*). Такое доказательство предложено в [18].

2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее ∑_а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.

Например, найдем ∑_а для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ∑_а = 4π;

б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким образом, ∑_а = 6∙π = 12π;

в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3π. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2π. Таким образом,

S₁ = 2∙3π+5∙2π=16π.

Итак, для нахождения ∑_а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие обозначения: S₁, S₂, S₃, …, S_r – число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда

∑_а = π (S₁-2)+ π (S₂-2)+…+ π (S_r-2) = π (S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r - 2Г ).

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:

S₁ +S₂ +S₃ +…+S_r = 2∙Р

( Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:

∑_а = 2π (Р-Г). (1)

Характеристики

Список файлов ВКР