62944 (588866), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1.1.2 Преобразование Фурье

Описание сигнала в дискретном времени с помощью преобразование Фурье задаётся в виде

(1.9a)

(1.9б)

Эти уравнения представляют собой частный случай уравнений (1.6а,б).

Преобразование Фурье получается путём вычисления z -преобразования на единичной окружности, т. е. подстановкой . Частота может быть интерпретирована как угол на z - плоскости. Достаточное условие существования преобразования Фурье можно получить, подставляя в (1.7)

(1.10)

Важная особенность преобразования Фурье последовательности состоит в том, что оно является периодической функцией со с периодом 2к. С другой стороны, поскольку представляет собой значение Х(z) на единичной окружности, оно должно повторяться после каждого полного обхода этой окружности, т. е. когда со изменится на рад [1].

1.1.3 Дискретное преобразование Фурье

Как и в случае аналоговых сигналов, если последовательность периодическая с периодом N, т. е.

(1.11)

то х(n) можно представить в виде суммы синусоид, а не в виде интеграла. Преобразование Фурье для периодической последовательности имеет вид

(1.12а)

(1.12б)

Это точное представление периодической последовательности. Однако, основное преимущество данного описания заключается в возможности несколько иной интерпретации уравнений (1.12). Рассмотрим последовательность конечной длины х(n), равную нулю вне интервала B этом случае z-преобразование имеет вид

(1.13)

Если записать X(z) в N равноотстоящих точках единичной окружности, т. е. , k= 0, 1,…,N-1, то получим

(1.14)

Если при этом построить периодическую последовательность в виде бесконечного числа повторений сегмента х(n),

(1.15)

то отсчеты ( ), как это видно из (1.12а) и (1.14), будут представлять собой коэффициенты Фурье периодической последовательности х(n) в (1.15). Таким образом, последовательность длиной N можно точно описать с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) в виде

(1.16)

(1.17)

Следует иметь в виду, что все последовательности при использовании ДПФ ведут себя так, как если бы они были периодическими функциями, т. е. ДПФ является на самом деле представлением периодической функции времени, заданной (1.15). Несколько иной подход при использовании ДПФ заключается в том, что индексы последовательности интерпретируются по модулю N. Это следует из того факта, что если х(n) имеет длину N, то

Введение двойных обозначений позволяет отразить периодичность, присущую представлению с помощью ДПФ. Эта периодичность существенно отражается на свойствах ДПФ. Очевидно, что задержка последовательности должна рассматриваться по модулю N. Это приводит, например, к некоторым особенностям выполнения дискретной свертки.

Дискретное преобразование Фурье со всеми его особенностями является важным способом описания сигналов по следующим причинам: 1) ДПФ можно рассматривать как дискретизированный вариант z -преобразования (или преобразования Фурье) последовательности конечной длительности; 2) ДПФ очень сходно по своим свойствам (с учетом периодичности) с преобразованием Фурье и z-преобразованием; 3) N значений Х(k) можно вычислить с использованием эффективного (время вычисления пропорционально NlogN) семейства алгоритмов, известных под названием быстрых преобразований Фурье (БПФ).

Дискретное преобразование Фурье широко используется при вычислении корреляционных функций, спектров и при реализации цифровых фильтров, а также часто используется и при обработке речевых сигналов [1-5].

1.1.4 Спектральный анализ

Спектральный анализ – это метод обработки сигналов, который позволяет выявить частотный состав сигнала. Поскольку анализируемые сигналы во многих случаях имеют случайный характер, то важную роль в спектральном анализе играют методы математической статистики. Частотный состав сигналов определяют путем вычисления оценок спектральной плотности мощности (СПМ). Задачами вычисления СПМ являются обнаружение гармонических составляющих в анализируемом сигнале и оценивание их параметров. Для решения указанных задач требуется соответственно высокая разрешающая способность по частоте и высокая статистическая точность оценивания параметров. Эти два требования противоречивы. Аргументы в пользу выбора высокого разрешения или высокой точности оценки СПМ зависят от того, что интересует исследователя: устойчивые оценки в пределах всего диапазона частот или высокая степень обнаруживаемости периодических составляющих.

Все методы цифрового спектрального анализа можно разделить, на две группы [6-7]: классические методы, базирующиеся на использовании преобразований Фурье, и методы параметрического моделирования, в которых выбирается некоторая линейная модель формирующего фильтра и оцениваются его параметры. К первой группе относят корреляционный и периодограммные методы. Ко второй группе относят методы оценивания СПМ на основе авторегрессии скользящего среднего и др.

Периодограммный метод обеспечивает вычисление оценки СПМ непосредственно по числовой последовательности х[nТ₀], формируемой путем дискретизации стационарного эргодического случайного процесса x(t). Периодограммная оценка СПМ равна [6-7]

(1.18)

Выражение (1.18) соответствует возможности вычисления СПМ с помощью преобразования Фурье непосредственно по реализации исходного сигнала.

Вычисленная с помощью (1.18) оценка СПМ является несостоятельной, т.е. с увеличением N она не улучшается. Для получения состоятельной оценки ее необходимо сглаживать. Кроме этого, при выполнении преобразования Фурье последовательности х[nТ₀] конечной длины /V происходит «размывание» спектра, которое также оказывает влияние на состоятельность оценки СПМ.

Ограничение последовательности х[nТ₀] конечным числом значений равносильно умножению исходной бесконечной последовательности х₀ [nТ₀] на другую последовательность

(1.19)

которую называют прямоугольным окном. Тогда можно записать

(1.20)

Преобразование Фурье последовательности х[nТ₀] равно свертке преобразований Фурье последовательности х₀ [nТ₀] и прямоугольного окна w[nТ₀]

(1.21)

Рисунок 1.2 – Размывание спектра: (а – исходная бесконечная последовательность; б – модуль преобразования Фурье от х₀ [nТ₀]; в - последовательность х₀ [nТ₀], умноженная на прямоугольное окно; г - модуль преобразования Фурье последовательности х[nТ₀])

При выборе оконных функций используются следующие параметры: ширина основного лепестка, максимальный уровень боковых лепестков, скорость спадания уровня боковых лепестков [6,7,10].

Здесь ширина основного лепестка определена на уровне 3 дБ ниже его максимума и измерена в единицах разрешения преобразования Фурье, т.е. 2π/N, где N - длина окна.

Для повышения состоятельности оценки (1.18) выполняют её сглаживание. Имеется несколько методов сглаживания: Даньелла, Бартлетта, Уэлча [6,7].

Метод Даньелла основан на осреднении значений СПМ в пределах смежных спектральных частот.

В соответствии с методом Бартлетта состоятельность оценки СПМ повышают усреднением оценок СПМ коротких реализаций, полученных из

одной реализации длиной N отсчетов. Пусть дана реализация длиной N отсчетов. Она разбивается на n_s неперекрывающихся сегментов, длиной N_s=N/s отсчетов. Для каждого сегмента по формуле (1.18) вычисляется выборочная оценка СПМ. Сглаженная оценка СПМ получается путем усреднения по всем n, сегментам

(1.30)

Если последовательность х[n] представляет нормальный стационарный эргодический процесс, то сглаженная оценка имеет дисперсию обратно пропорциональную числу сегментов n.

Спектральное разрешение оценки задается приближенным равенством

(1.31)

В методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся сигментам исходной последовательности х[n], и каждый сегмент взвешивается с помощью оконной функции для уменьшения смещения оценок из-за эффекта «просачивания» энергии в боковые лепестки. Цель перекрытия сегментов - увеличить число усредняемых участков при фиксированной длине последовательности и тем самым повысить точность оценок СПМ. Метод Уэлча - один из самых распространенных периодограммных методов [6,7].

Обозначим через величину сдвига между сегментами, которая должна удовлетворять условию , где - максимальное имя корреляции анализируемого процесса. При выполнении этого условия получим p=int[(N-N_s)/ +l]слабо коррелированных сегментов. Отсчеты каждого сегмента взвешиваются окном w[n]

(1.32)

Выборочное значение СПМ сегмента р оценивается по формуле

(1.33)

где

(1.34)

(1.35)

Сглаженная оценка периодограммы Уэлча вычисляется по формуле

(1.36)

Введение перекрытия сегментов в методе Уэлча позволяет уменьшить изменчивость оценки СПМ, Так же как и в методе Бартлетта, дисперсия оценки СПМ по методу Уэлча обратно пропорциональна числу сегментов, но благодаря большему числу сегментов, значение дисперсии будет меньше.

1. Основы цифровой фильтрации

Цифровой фильтр представляет собой систему с постоянными параметрами (инвариантную к сдвигу), работающую в дискретном времени. Напомним, что для таких систем сигнал на входе и выходе связан дискретной сверткой (1.5). Соответствующее соотношение между z-преобразованиями имеет вид

(1.37)

Прямое z-преобразование отклика на единичный импульс H(z) называется передаточной функцией системы. Преобразование Фурье отклика на единичный импульс называется частотной характеристикой. Обычно представляет собой комплексную функцию со, которую можно записать в виде

(1.38)

или через модуль и фазу

(1.39)

Инвариантная к сдвигу линейная система называется физически реализуемой, если h(n)=0 при n<0. Линейная система устойчива, если для любой ограниченной по уровню входной последовательности выходная последовательность также ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы с постоянными параметрами является

Характеристики

Список файлов ВКР