181336 (584192), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Шкала для коефіцієнта к1 = З / В

Таблиця 4.4 Ще одна шкала для коефіцієнта к1 = З / В

При аналізі платіжної матриці можливі два випадки. Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки ми прийняли умову максимальної розумності гравців, то саме ці рядок і стовпець і є оптимальними стратегіями гравців.

Можна показати, що за умови використання одним із гравців оптимальної стратегії іншому гравцю невигідно відступати від своєї оптимальної стратегії, тобто стратегії, що відповідають сідловій точці, є найбільш вигідними для обох гравців.

Метод вибору стратегій на основі сідлової точки називається «принципом мінімаксу», який інтерпретується так: чини так, щоб при найгіршій для тебе поведінці супротивника одержати максимальний виграш.

Наприклад, у випадку матриці, представленої таблицею 5.2, оптимальними для розумних гравців будуть стратегії А, і В3, тому що вони відповідають сідловій точці.

Таблиця 5.2 Матриця, що має сідлову точку

Випадок 2. Платіжна матриця не має сідлової точки. Це, звичайно, більш поширений випадок. У цій ситуації теорія пропонує послуговуватися так званими змішаними стратегіями, тобто тими стратегіями, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується на інтуїтивному рівні. Наприклад, продавець, не знаючи, який з товарів матиме попит, прагне по можливості урізноманітнити їх асортимент. Оптимальний портфель

цінних паперів складають з паперів різних видів. Навіть якщо ви заблукали в лісі і не знаєте точно, що робити, інструкції з виживання в екстремальних ситуаціях рекомендують, з-поміж інших заходів, блукати навколо цього місця кругами в надії, що вас знайдуть, але не йти в невідомому напрямку, тому що цей напрямок практично напевно буде не оптимальним, і ви ризикуєте далеко відійти від місця пошуку. Це теж один з методів диверсифікації у просторі.

Точний метод знаходження оптимальної змішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування і, хоча й не є дуже складним, досить трудомісткий. Він описаний, наприклад, у [11]. Існують спеціальні комп'ютерні програми, що реалізують цей метод. Через обмеженість місця тут він не розглядатиметься.

Однак можна розглянути принцип знаходження рішень у змішаних стратегіях для окремого, але досить поширеного на практиці випадку.

Якщо в матричній грі відсутня сідлова точка в чистих стратегіях, то знаходять верхню і нижню ціни гри. Вони показують, як вже наголошувалося, що гравець А не отримає виграшу, більшого за верхню ціну гри, і що гравцю В гарантований виграш, не менший від нижньої ціни гри. Порушимо питання: чи не покращиться результат гравця А, якщо інформація про дії протилежної сторони буде відсутня, але гравець багаторазово застосовуватиме чисті стратегії випадковим чином з певною ймовірністю?

Виявляється, що у такій ситуації можна одержувати виграші, у середньому більші від нижньої ціни гри, але менші від верхньої.

Змішана стратегія гравця — це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями. Перелічимо умови застосування змішаних стратегій:

- гра без сідлової точки;

- гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із заданими ймовірностями;

- гра багаторазово повторюється в подібних умовах;

- при кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;

- допускається осереднення результатів ігор.

Використовуються такі позначення змішаних стратегій.

Для гравця А змішана стратегія, що полягає в застосуванні чистих стратегій А1, А2, ... Ат з відповідними ймовірностями p1, р2, ...рт, позначається матрицеюСлід зазначити, що при виборі оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не менший, ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В навпаки).

Активними стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з імовірностями, відмінними від нуля. Отже, до складу оптимальних змішаних стратегій гравців можуть входити не всі апріорі задані їхні стратегії.

Розв'язати гру — означає знайти ціну гри й оптимальні стратегії гравців. Розгляд методів знаходження оптимальних змішаних стратегій для матричних ігор почнемо з найпростішої гри, описуваної матрицею 2 • 2. Ігри із сідловою точкою спеціально не розглядатимуться. Якщо отримана сідлова точка, то це значить, що є невигідні стратегії, від яких слід відмовлятися. У разі відсутності сідлової точки можна одержати дві оптимальні змішані стратегії.Знаючи платіжну матрицю А, задачу можна розв'язати графічно. При цьому методі алгоритм розв'язання дуже простий (рис. 5.1) і полягає в такому: 1) По осі абсцис відкладається відрізок одиничної довжини.

2) По осі ординат відкладаються виграші при стратегії А,.

3) На лінії, паралельній осі ординат, у точці 1 відкладаються виграші при стратегії А2.

4) Кінці відрізків позначаються для а11 - b11, а12 - b21, а22 - b22, a21 - b12 і проводяться дві прямі лінії b11 b12 і b21 b22.

5) Визначається ордината точки перетину с. Вона й дорівнюватиме ціні гри у. Абсциса точки с дорівнює p2 (p1 = 1 - р2).

Цей метод має досить широку сферу використання, що ґрунтується на загальній властивості ігор т • п, яка полягає в тому, що в будь-якій грі т • п кожен гравець має оптимальну змішану стратегію, у якій кількість чистих стратегій не більша, ніж min (т, п).

З цієї властивості можна одержати відомий наслідок: у будь-якій грі 2 • піт • 2 кожна оптимальна стратегія містить не більш як дві активні стратегії. Отже, будь-яка гра 2 • п і т • 2 може бути зведена до гри 2 • 2. Отже, ігри 2 • п і т • 2 можна розв'язати графічним методом. Якщо матриця скінченної гри має розмірність т • п, де т > 2 і п > 2, то для визначення оптимальних змішаних стратегій використовується лінійне програмування.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)