85897 (574939), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема Вейерштрасса: Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (36) имеет хотя бы один корень.

Эта теорема выражает геометрически очевидный факт (рис.4), состоящий в том, что если в точках и график непрерывной функции находится в

разных полуплоскостях от оси , то найдётся точка , такая что график этой функции пересекается с осью в точке , т.е. .

а b Замечание: если при этом имеет первую

производную - не меняющую знака, то корень единственный.

Таким образом, мы можем сказать, что уже умеем

Рис. находить отрезок , где находится корень

уравнения (36), но этот отрезок можно уменьшать, основываясь на теореме Вейерштрасса.

Для этого в качестве первого приближения к корню берём середину отрезка , т.е.

(38)

Этой точкой отрезок делится на два равных отрезка: и . Используя теорему Вейерштрасса, устанавливаем в каком из этих отрезков лежит корень, т.е. на концах какого из этих двух отрезков функция принимает разные знаки. С этим отрезком действуем также, т.е. выбираем в качестве второго приближения к корню середину этого отрезка и продолжаем этот итерационный процесс, пока отрезок поиска решения не станет меньше требуемой точности .

Оценка погрешности вычислений по методу деления отрезка пополам производится по очевидной формуле:

(39)

Ясно, что , а относительная погрешность .

Изложенный метод легко программируется и даёт сходимость с точностью (39), хотя при практических вычислениях чаще пользуются комбинациями различных численных методов, добиваясь более быстрой сходимости процесса.

3.2 Метод ложного положения (метод хорд).

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеющим противоположные знаки. Этот метод зачастую даёт более быструю сходимость, чем метод деления отрезка пополам.

Для иллюстрации алгоритма метода ложного положения (метода хорд), рассмотрим рис.5.

рис.5.

Сначала находим отрезок где

yзаведомо известно, что существует

корень , т.е. , для этого по теореме Вейерштрасса должно быть .

В качестве первого приближения к корню берём , второе приближение . Для нахождения следующего приближения соединяем эти две точки отрезком прямой. Точку пересечения этого отрезка берём в качестве третьего приближения , далее значение функции сравнивается с и , где будут разные знаки, в дальнейшем используется именно тот отрезок вместо , и т.д. Соответствующая итерационная формула имеет вид:

(40)

где и .

Ясно, что эта итерационная формула требует, чтобы , а также и .

Точность вычисления корня методом хорд оценивается неравенством

(41)

предельная относительная погрешность:

(42)

где .

3.3 Метод Ньютона (метод касательных)

Хотя метод ложного положения даёт более быструю сходимость, чем метод деления отрезка пополам, проверка условий применимости метода хорд достаточно громоздка, поэтому рассмотрим метод Ньютона, который иногда называют методом касательных.

В отличие от предыдущих методов здесь не требуется предварительно искать отрезок , где . Для решения уравнения

(43)

в методе Ньютона задаёмся требуемой точностью (абсолютная погрешность). Далее произвольно выбираем начальное приближение . Считаем, что

(44)

для нахождения следующего приближения , где

(45)

воспользуемся формулой Тейлора для :

(46)

Отбрасывая члены разложения, содержащие производные выше первого порядка, получаем уравнение для определения приближённого значения корня :

(47)

т.е.

(48)

Зная , новое, улучшенное значение находим аналогично

(49)

и вообще

(50)

Вычисления надо продолжать до тех пор, пока не достигнем требуемой абсолютной погрешности :

(51)

Предельная относительная погрешность равна:

(52)

Скорость сходимости итерационной формулы Ньютона (50) оценивается неравенством:

(53)

Ясно, что скорость сходимости выше, чем в методе хорд. Однако, здесь так же нужно иметь в виду, что , а также и , а эти условия трудно проверить, что и является отталкивающим фактором для исследователей. Кроме того, для применения метода Ньютона, нужно достаточно точное знание начального приближения .

Здесь, так же как и в методе хорд, легко представить этот процесс геометрически. Взяв начальное приближение , в этой точке проводится касательная к графику функции . Пересечение касательной с осью абсцисс принимается за первое приближение. Далее касательная проводится в точке , пересечение касательной с осью берётся в качестве второго приближения и т.д.

Литература

1. Высшая математика - Сапунов И.С. - М. 2000 г.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)