85852 (574930), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

a₂x + b₂y – c₂ = 0, (14)

где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

1. Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

2. Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Эти условия можно переписать так:

a₁b₂ = b₁a₂, (15)

c₁b₂ = b₁c₂, (16)

a₁c₂ = c₁a₂. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ≠ 0, так как a₁ + b₁ ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ≠ 0, то b₂ ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = α и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y – α) = 0, b₂(y – α) = 0. Поскольку b₁ ≠ 0, b₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b₂ = 0(причем

а₂ ≠ 0). Тогда из (17) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x – β) = 0, а₂(x – β) = 0. Поскольку

а₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а₁ ≠ 0 и b₁ ≠ 0, то из (15) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = γ, а из (16) и (17) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = γа₁, b₂ = γb₁, c₂ = γc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y – c₁ = 0, γ(a₁x + b₁y – c₁)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Заключение

В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Список литературы

1. А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

2. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

3. Математический энциклопедический словарь.

4. Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

5. Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)