85831 (574925), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

за методом Гауса.

Складемо таблицю

Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю

Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:

Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему

Послідовно знайдемо: .

У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n невідомими

(4)

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду:

.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всі коефіцієнти , то система рівнянь (4) сумісна. У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим r стовпцям, решта невідомих є вільними.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

(5)

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Помноживши перший рядок на 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо від третього й дістанемо таблицю:

Віднімемо другий рядок від третього й запишемо таблицю

,

яка відповідає несумісній системі рівнянь.

Система рівнянь (5) не має розв’язків. Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь:

(6)

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Виключивши невідомі х1 за допомогою першого рядка, дістанемо таблицю:

Віднявши другий і третій рядки від четвертого, дістанемо таблицю:

Система рівнянь сумісна, але розв’язок не є єдиним. Поміняємо місцями третій і п’ятий стовпці. Тоді маємо:

Цій таблиці відповідає система рівнянь

Невідомі - базисні, невідомі - вільні. Із системи рівнянь (6) знайдемо загальний розв’язок:

де С1 і С2 - довільні сталі.

3. Метод Жордана-Гауса

Метод Жордана-Гауса є модифікацією методу Гауса і часто застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система n рівнянь з n невідомими

(1)

має єдиний розв’язок, то вона перетворюється до вигляду

.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

Утворимо відповідну таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 2, дістанемо таблицю:

Перший рядок додамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. Утворимо таблицю:

Поділимо другий рядок на 7/2:

Помножимо другий рядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо:

Поділивши третій рядок на 4/7, запишемо:

Помножимо третій рядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка.

Далі помножимо третій рядок на 1/7 і додамо до другого, утворивши заключну таблицю:

Звідси знаходимо розв’язок .

Метод Жордана-Гауса застосовується також для розв’язування складних систем m рівнянь з n невідомими:

(2)

Якщо ранг матриці коефіцієнтів при невідомих дорівнює r, то таблиця коефіцієнтів набирає вигляду:

(3)

Якщо хоча б один із членів відмінний від нуля, то система рівняння несумісна. Якщо , то система сумісна і має m базисних невідомих, які відповідають першим r стовпцям і вільним невідомим.

Приклад. Знайдемо методом Жордана-Гауса розв’язок системи рівнянь

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Перший рядок віднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо від третього. Остаточно дістанемо:

Другий рядок помножимо на -2 і віднімемо від першого рядка. Третій рядок віднімемо від першого. У результаті запишемо таблицю:

Підставивши другий стовпець на останнє місце, дістанемо таблицю виду (3):

Невідомі - базисні, невідоме х2 - вільне. Відповідна система рівнянь така:

Її загальний розв’язок:

де С - довільна стала.

Досі ми розглядали лише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемо складніший приклад.

Приклад. Розв’яжемо за методом Жордана-Гауса систему

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 21, дістанемо таблицю:

Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемо від третього:

Поділимо другий рядок на 7,142857142:

Помножимо другий рядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на 2,714285716 і додамо до третього:

Поділимо третій рядок на 12,72666667:

Помножимо третій рядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на 0,486666667 і додамо до другого рядка:

Звідси дістанемо розв’язок:

х₁ = 0,449973808, х₂ = 0,308014618, х₃ = 0,249345207,

який можна округлити згідно з точністю початкових даних.

Висновки

Метод Жордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомих системи. Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду

де .

Якщо , то ступінчату систему називають трикутною, якщо , то систему називають трапецевидною.

Ступінчату систему легко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би одне рівняння виду , то система несумісна.

Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує.

Трикутна система має єдиний розв’язок. Із останнього рівняння знаходимо , потім, підставляючи його значення в попереднє рівняння, знаходимо . Далі аналогічним шляхом знаходимо .

Трапецевидна система має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку змінні вважаються вільними і їх переносимо в праві частини рівнянь, тоді головні змінні в процесі розв’язку системи будуть лінійними функціями змінних .

Слід відмітити, що метод Гауса застосовується і для розв’язку однорідних систем у випадку, коли і ранг матриці системи менше , а також для розв’язку систем, у яких число рівнянь більше числа невідомих.

Метод Жордана-Гауса полягає у зведенні системи до діагонального вигляду. Отримуємо одразу значення всіх (якщо система визначена) або базисних (якщо система невизначена) невідомих змінних.

Якщо в отриманому розв'язку сумісної невизначеної системи надати довільні числові значення незалежним невідомим і обчислити залежні, то отримаємо частинний розв'язок системи.

Список використаних джерел

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: А.С.К., 2006. - 648 с.

2. Зеленський К.Х. Вища математика. - К.: Університет "Україна", 2006. - Ч.2 - 212 с.

3. Коваленко І.П. Вища математика. - К.: Вища школа, 2006. - 343 с.

4. Лавренчук В.П., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. - Вид. 3-тє, випр. - Чернівці: Рута, 2007. - 175с.

5. Макаренко В.О. Вища математика для економістів. - К.: Знання, 2008. - 517с.

6. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. - К.: Техніка, 2007. - 600c.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)