85782 (574910), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение. Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х 0, запишем

и, сделав замену получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:

, или

Введём замену получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Положим,

(1)

Тогда исходное уравнение запишется так: Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные и . Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что Итак, надо решить систему:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Введём замены:

(2)

Тогда исходное уравнение примет вид

Попробуем составить ещё одно уравнение, зависящее от переменных и . Для этого найдём сумму:

Итак, надо решить систему

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, т.е. -7+2=-1–4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению

Введём замену: получим Решив квадратное уравнение , находим, что или .

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, т.е. Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение

Поскольку – не корень, разделим обе части уравнения на Получим:

Введя замену: запишем исходное уравнение в следующем виде:

т.е.

Отсюда . Вернёмся к исходной переменной:

Первое уравнение совокупности имеет корни . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Вид уравнения совсем не подсказывает, что его можно свести к однородному. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, т.е.

Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, запишем, что

и далее:

Введя замену: и приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или Но система решений не имеет.

Разделив обе части уравнения на , запишем. Что

Отсюда

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Поскольку функция существует при любых значениях , найдём область определения функции

значит, . Ясно, что можно ввести замену или Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок

Подставив замену в уравнение, получим:

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение и упростим левую часть исходного уравнения:

(1)

Введём замену тогда уравнение (3) примет вид:

, или ,

При дальнейших упрощениях получим

Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на :

Введём вторую замену и решим уравнение:

Возвращаясь к исходной переменной, придём к совокупности:

Второе уравнение совокупности не имеет решений, а первое даёт два решения, которые и выносятся в ответ.

Ответ:

3. Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений

В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.

Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:

Использование основного свойства дроби.

Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:

где постоянные, .

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли корнем уравнения, и производят замену .

Выделение квадрата.

Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.

Переход к системе уравнений.

Этот приём целесообразен при решении уравнений вида

где коэффициенты и равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.

Раскрытие скобок парами.

Такой метод даёт хороший эффект в уравнениях вида

Где или или

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения.

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения целесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида

где , или или .

Сведение к однородному уравнению.

Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида

где - постоянные, отличные от нуля, а , - многочлены.

Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.

4. Комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений

Исходя из четвёртой задачи курсовой работы, составим комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Пример 1.

Решение. ОДЗ уравнения есть все действительные . Сделаем замену неизвестной , где . Тогда исходное уравнение запишется в виде

(1)

, то уравнение (1)

Из решения этих уравнений промежутку принадлежат только . Поэтому

Ответ:

Пример 2.

Решение. Если сделать замену уравнение упрощается, но остаётся иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную:

или посторонний корень

Ответ:

Пример 3.

Решение. Видим, что к данному уравнению можно применить ранее указанный нами приём – «раскрытие скобок парами». Суммы чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. 1+5=2+4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению:

Введём замену: , получим Решив квадратное уравнение находим, что или

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

В первом уравнении совокупности корней нет.

Перепишем второе уравнение:

Ответ:

Пример 4.

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. Перемножим указанные пары скобок, запишем уравнение

Так как не есть решение данного уравнения, то, разделив обе части на , получим равносильное исходному уравнение

Делая замену переменных получаем квадратное уравнение

Обратная замена:

Решения первого уравнения этой совокупности есть

,

.

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет.

Ответ:

Пример 5.

Решение. Обозначим через . Данное уравнение перепишем в виде . Поскольку не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению

Сделаем обратную замену:

Ответ:

Пример 6.

Прежде, чем решить заданное уравнение, продемонстрирую алгоритм решения возвратного уравнения:

– разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, т. к. не является корнем исходного уравнения при

– группировкой привести полученное уравнение к виду

– ввести новую переменную , тогда выполнено т.е. в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным

– решить его относительно , возвратиться к исходной переменной.

Решение. Исходя из алгоритма решения таких уравнений, разделим левую и правую части уравнения на , получим равносильное ему уравнение

.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

или в виде

Положив получим уравнение

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Пример 7.

Решение. Обозначим

Таким образом, для и имеем симметричную систему:

Обозначим тогда

Таким образом,

Ответ:

Пример 8.

Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение четвёртой степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на . Получим

Положим , тогда

Обратная замена:

или

корней нет.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)