82199 (574511), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а₁ = 1; а₂ = 1; а₃ = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 5; = 8; = 9; = 3 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (1; 1;

2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (5; 8; 9;

3) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет. И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии. Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В чистую стратегию В₁ (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v:

Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, т.е.

.

Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*_A и цены игры v:

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А₁ или А₂) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.

Тогда оптимальная стратегия ( ) определяется формулами:

Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше. Игра задана платежной матрицей без седловой точки:

Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В₁ и В₂) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А₁ и А₂). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид:

Решая эти системы, получаем v = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -3 и 4 при этом средний выигрыш равен 0.

Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой.

Определите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных.

1) 2)

Таблица 5

	B1	B2	B3	B4
A1	2	3	4	2	2
A2	3	5	2	4	2
A3	2	5	4	6	2
	3	5	4	6

Решение.

Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а₁ = 2; а₂ = 2; а₃ = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 3; = 5; = 4; = 6 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (2; 2;

2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (3; 5; 4;

6) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет.

И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В чистую стратегию В₁ (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v:

Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, т.е.

.

Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*_A и цены игры v:

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А₁ или А₂) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.

Тогда оптимальная стратегия ( ) определяется формулами:

Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше.

Игра задана платежной матрицей без седловой точки:

Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В₁ и В₂) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А₁ и А₂). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид:

Решая эти системы, получаем v = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -1 и 2 при этом средний выигрыш равен 0.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)