63427 (573399), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Чтобы понять суть применения операторного метода, можно провести некоторую аналогию между его применением и использованием логарифмов для выполнения сложных вычислений. Использование логарифмов позволяет заменить сложные операции возведения в степень и извлечения корня умножением и делением, а умножение и деление - сложением и вычитанием. По окончании вычислений осуществляется обратный переход от логарифмов к самим величинам.

Здесь также изменяющиеся во времени величины заменяются соответствующими операторными изображениями этих величин. С изображениями выполняются все операции, необходимые для математического исследования АСР. После окончания решения осуществляется обратный переход от изображений к вещественным величинам.

Основные соотношения операторного исчисления сведены в табл. .1. По ним осуществляют прямой и обратный переход.

Чтобы увидеть преимущество решений дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа, рассмотрим пример.

Пусть линейная АСР описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка:

(4)

Применяем преобразование Лапласа

(5)

Воспользуемся приведенными выше правилами.

(6)

(7)

Таблица 1)

f(t) (оригинал)	F(p) (изображение)	f(t) (оригинал)	F(p) (изображение
а f(t)	а F(p)		pn F(p)
f1(t) f2(t)	F1(p) F2(p)
	рF(p)	n

Получим операторное изображение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях.

Передаточной функцией элемента или системы называется отношение изображения Лапласа (или операторного изображения) соответствующей выходной величины к изображению Лапласа входной величины. При этом считается, что элемент или система находились при нулевых начальных условиях.

Таким образом, передаточная функция определяется отношением

(8)

Учитывая (7), выражение для передаточной функции можно записать в виде

(9)

При р = 0, т.е. когда нет изменяющихся величин (установившееся состояние системы), передаточная функция вырождается в обычный коэффициент усиления системы. Так, у электронного усилителя передаточная функция К(р) = К.

В АСР степень полинома знаменателя D(p) всегда выше или, в крайнем случае, равна степени полинома числителя Е(р), т.е. всегда n > m.

Корни полинома числителя называют нулями, а знаменателя - полюсами.

Из соотношений (4) - (9) ясно, что передаточную функцию можно получить простой формальной заменой производных дифференциального уравнения символом р в соответствующей степени. Из передаточной функции можно определить выходную величину:

(10)

Включение отдельных звеньев АСР можно выполнять в трех основных формах: последовательное, параллельное и встречное включение (охват обратной связью).

Пусть АСР состоит из п последовательно включенных звеньев (рис.3), передаточные функции которых равны:

К₁(р) ; К₂(р) ; . . . ; К_n(р)

Пусть на вход первого звена подается величина х_вх и с выхода этого звена снимается величина х₁. Эта величина — соответственно входная величина второго звена. С выхода второго звена снимается величина х₂, которая является входом третьего звена и т.д.

Запишем значение передаточных функций всех звеньев:

(11)

Передаточная функция всей системы может быть определена

(12)

или (13)

Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из последовательно включенных звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев. Если АСР состоит из n параллельно и согласно включенных звеньев (рис. 4), их передаточные функции равны: К₁ (р), К₂(р),...,К_n (р).

Пусть на вход цепи подается величина х_вх. На вход каждого звена соответственно подаются величины: x_{1 вх}, х_{2 вх}, …., х _{n вх} . Выходные величины обозначим через x_{l вых}, х_{2 вых} , х_{3 вых},...., х _{n вых}, а суммарную величину через х _вых:

Х_вых= Х_{1 вых} +Х_{2 вых}+ . . . +Х_{n вых};

К(р)=К₁ (р)+ К₂ (р)+ . . . + К_n(р);

(14)

Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из n параллельно и согласно включенных звеньев, равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Для параллельного встречного включения звеньев 1 и 2 (рис.5), передаточные функции которых равны К₁(р) иК₂(р), имеем:

на входе

на выходе

Знак "+" соответствует положительной обратной связи, знак "-" - отрицательной. Уравнения звеньев будут иметь вид:

, поэтому .

Отсюда

Сделав перестановку и изменив знаки, получили:

(15)

Передаточную функцию звеньев, включенных параллельно (встречно), находят по формуле (15). Причем знак "-" в знаменателе соответствует положительной обратной связи, знак "+" соответствует отрицательной обратной связи.

При помощи формулы (15) можно получить передаточную функцию замкнутой АСР (рис. 6). Замкнутая АСР представляет собой систему с отрицательной обратной связью. Входной сигнал данной АСР определяется выражением

х=х_вх - х_вых (16)

Зная передаточную функцию К(р) АСР в разомкнутом состоянии, можно записать:

х_вых=К(р)х=К(р)(х_вх - х_вых) (17)

или

(18)

Обозначим

(19)

где К₃ (р) - передаточная функция замкнутой АСР.

Из (18) и (19) получим выражения для передаточной функции замкнутой АСР в следующем виде:

(20)

Выражение (20) устанавливает связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой АСР.

Литература

1. Трофимов А.Н. Автоматика, телемеханика, вычислительная техника в химических производствах. Учебник. Энергоатомиздат. 1985.

2. Фарзане Н.Г., Илясов П.В., Азим-заде А.Ю. Технологические измерения и приборы. Учебник. Москва. Высшая школа.1989.

3. Жарковский Б.И. Приборы автоматического контроля и управления. Учебник. Высшая школа. 1989.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)