47285 (571981), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда сумма всех перевозок:

L=18400

Ответ:

Задача 4 (№53)

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

= 1112+2222+1212+11+22

при условиях:

111+1221

211+2222.

1. Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

2. Составить функцию Лагранжа.

3. Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

4. Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

5. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.

Решение:

Целевая функция:

F= -212-22-412+61+1,52→max

Ограничения g1(x) и g2(x): 2,51-27 2,51-2–70

31+2,5213 31+2,52-130

1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

→

2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции

F11 (х10, х20) = -4 < 0

F12 (х10, х20)=-4

F21 (х10, х20)=-4

F22 (х10, х20)=-2

F11 F12 -4 -4

F21 F22 -4 -2

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L(x,u)=F(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-212-22-412+61+1,52+u1 (2,51-2–7)+ u2 (31+2,52-13).

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А:

Система В:

Перепишем систему А:

6-41-42+2,5u1+3u2 <0

1,5-41-22-u1+2,5u2 <0

2,51-2–70

31+2,52–130

4)Введем новые переменные

V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0

в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

6-41-42+2,5u1+3u2 + v1=0

1,5-41-22-u1+2,5u2 + v2=0

2,51-2–7- w1=0

31+2,52–13- w2=0

Тогда

- v1=6-41-42+2,5u1+3u2

- v2=1,5-41-22-u1+2,5u2

w1=2,51-2–7

w2=31+2,52–13

Следовательно, система В примет вид:

- это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

6-41-42+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0

1,5-41-22-u1+2,5u2 + v2 -y2=0

2,51-2–7- w1=0

31+2,52–13- w2=0

и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min

Y’=-Y= -My1-My2→max.

В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2;

а в качестве базисных y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

y1=6-(41+42-2,5u1-3u2 - v1)

y2=1,5-(41+22+u1-2,5u2 -v2)

w1=-7-(-2,51+2)

w2=-13-(-31-2,52)

Y’=-Y=-My1-My2=-7,5M-(-81-62+1,5u1+5,5u2+ v1+v2) M

Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:

Меняем и

Меняем и

Меняем и

Меняем и

Итак, = = = = = , =16,785, =11,017, =23,944, =35,07

6) Условия дополняющей нежесткости выполняются ,значит, решения исходной задачи квадратичного программирования существует.

Ответ: существует.

Литература.

1) Курс лекций Плотникова Н.В.

2) Пантелеев А.В., Летова Т.А. «Методы оптимизации в примерах и задачах».

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)