Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ (564383), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Потом мокно найти и„ , го, Н и т.д. Тзкиы йутем иы приходим к следующему способу нормализации Рос — периодических по Г гаиильтоновых систем, основанному на прииенении точечных отобрзяений. Ремиз уравнения (2.3.3), найдем проиэводягцсп фикции у точечного отобрзкения г . Затем вводим 41 новые координаты, з которых Х ююет нермазьиун форму. Посяедннй ° аг - получение по нормазизованной проиэводяпей (й(нкцкк отобраие- ния т соответствузмей ей нормвкьной формы Щнкции Гаиикьтона. Г я а в а 3. )И)ГО))Н НОРМАЛИЗАЦИИ ВЕГАМИХЬТОНОВЫХ О)КЛЕМ з 3.1, Метр Хо — Кэмика и негаюи тонов сястем Метод Хори — Кэмкка двя негамильтоновзм систем основан на испохьэованки рядов Ли анаиогююо тому, иак это быио сдеизно в методе Капри — Хори в главе 1. Вудам рассматривать норзюкиэузя)ее преобразование переменных у как ранение некоторой вспомогатазьной системы обыкновен- ных дифференцяакьных уравнемий вкдв Ы« — " «х'(«, г) «(()) = д д« (3.1.1) — =С, г(б)=г, ьз (б, г) =о, «,д,«г(«,е)ся, и> /, где %'(«, г ) является генератором ли (9] (компоненты ы («, г ) есть голоморфные функции относительно «с почты периодическими по г, вообще говоря, коыпхоксными коэффициентами).
Время будем рассматривать в вачестве ( и + 1)-й координаты. Предпола- гается, что вектор-ф((пипия ж («, г ) с С . Преобразование коорди- нат, определяемое ранением (3.1.1), является близким к тоздест- венноыу. При этом переменная 'г не имеет физического смысла и вводится для удобства. Резание задачи Кави ддя системы (3.1.1) моино записать' в ваде )9] « =«(',у,г, и'(«,г)].
(3.1.2) Вто реаанне зависит от переменной т, начальных усвовий у , г и вкемента бпнкционального пространства тГ ( «, Г ). При фиксирован- ных г и )з' выракение (3.1.2) задает однопвраметрическув вокаиь- нум йою(утативнум группу Ли с законом композиции «(т; т,,с) = (ч;,~] «( з,«(гЗ)], (3.1.3) означающим, что точка в фазовом пространстве « гт), в которум переходит точка « (О) по пронествни интервала т;, по истечении интервала т; перейдет в точку х ( т; + т„,' ) (значение координат вектора х ( т; + т' ) определяет ранение системы (3.1.1) с начавьннми условиями х(0) = у , Г(0) = Г при т;+,, ). В силу комыугативности грунин (3.1.2) обратное яреобрэзова- ние у- « моино строить, вски в качестве переменной г" взять — г . (3.1.6) Продолиая далее эту процедуру, получаем а' х ( т', У/ ~ (3.1.9) У.
~~=о В результате о учетом (3.1Л) ренение задачи Повн (3.1.1) будет иметь зид м~т',у)=Д вЂ” '7 у = ехг (гЮ ) у 'м) ъ% (у) (3.1.10) гюо О "У (3.1. 11) а зло ~ ~ .и,,, ) - инфинитеэимельннй оператор группы (3.1.2) ° г' ! я) кмеюкий следумзув форму представления: Лейотвительно, возьмем црокзведение двух элементов грунин (3.1 2) ооглаоно закону композицим (3.1.3): у(-, )ох(",и) = (3.1.4) Очевидно, что оправа в (3.1.4) отоят единица группы - тонкеотвенное щ)еобрвзование л -у.
Таким образом, для получения обратного щ~еобразовании у- л не требуется обрмзения радов, определанных примое преобразованме. Лоотаточно люв в (3.1.2) везде чернильно заменить л нау, а т на -г". Предотаэкм ренение (3.1.2) эадвчк Коки в виде раелокения в ряд Тейлора по г: лг=з Введем прокэволнув Ли ~9): д ) .,уу =2:,; (у)л —. ' и; с~~ г=~ Уу где ц;„, (у(~), ~) =- О в силу (3.1.1). Вмчнолим первую проязэоднув в внрвиеним (3.1.5): ~~гнЦ~ =и ('х(е;у))! — ц.(у) =ю у (3 1 7) ~ '=о е су~ Лакее найдем вторую пооизводнув х(т; р ) по "": '1,; —.— ".( —::)1„,- —:, ...,-~., = =Х вЂ” р л — ~~ =~~и'(у) †.7 уд го У дх ° и ~к) дт ! . „,у ду ° и Гу) г=з ~:у,/' Ю .П =,7 (3.1.8) гуг < у)т суг У ' т ехр~~Ю ) =~ — ~Ю ~:о Инересно отметить, что либав фыицня у ( х, г ) переменных х, Г определяется в результате преобразования без дополыительнык выкладок по форнулам У(';у)=~(х(ту),В= Г(' 'Ю .(у~).К(у,Г). (3.1 ° 12) Лейстзитазьно, представим,Г' (х (т', у), г) з виде рида тейлоры: ~"" д"*У(г, у, Р) У(~,у, ) Х ~п.у де~ 'ьз Определим вьйнзкение дУхуй~ —.Ы ху ~ 6 ~ю я с! ~ сну(х <т,у,г)Г ) д„Г(у, ~) дх ! г=о ч'<у) у ду н'(у) ду(у, г) = ~» %" (у) .
' =.Р у'(у,Е) . г=~ ~ Ь Далее, аналогично (3.1.8) получим дУ(т;у,г>~ У Гг (у Ю(у ~)~ д д'=т Ь =2 д . (~и'~у~-~ У ~М'~вГ >У) у = 7. 1(У ду, ( ы(у) у ))= н(у)~ у* д ~У1 Продолкая зтот процесс, убедимся в справедливости (3.1.12). Используя свойство (3.1.4) , излучаем в явном виде обратное цреобрвзование у- х: у о(- 'р . >)х, (3.1.13) )(ля нелоядення образа $ункцни у (х, г ) в пространстве у пользоваться формулой (3.1.12) не конструктивно, так как она не содериит рекуррентнык соотнонений.
С целью ик получения расцространиы схему Марсиане (9), которая была разработана для ганыльтоновык систем, на рассматриваемые системы. Полонин в (3.1.10), (3.1.12) т' 1; тогда х - ехр (Ю < ))у. (3.1.14) Будем счятать, что (3.1.14) определяет формально преобразование Ли х — у . Согласно (3. 1.12), произвольная функция р (х, г ) при прянимает вид ~~у, ~)=1(х(у,~),~) = ехр (Ю ) ~(у, Г) .
(3.1.15) 44 Ввметмм, что параметр т' в (3.1.10), (3.1.12) формально не существен и моиет вводиться для удобства. Ъсть дана функция р (х, Г ), представленная в виде степенного ряда А~(х,Г) =~„~ Гх, т), (3.1.1б) где ~т ( х, и ) означает однородный воланом степени ( ~ + 1) (раэлоиение в ряд у (х, Г ) начинается с членов первого порядка пох ). Введем малый параметр э и располоиим полиноыы в (3.1.1б) по степеням с: (3.1.17) р(хГ=~, э р Гх). =о Аналогично генератор Ли представим в виде Гу) = Х.- Гу), (3.1.18) ~п= К где )о (у) — веитор~$орма порядка ( ~ ° + 1) с почти периодическими коэфрициентами по Подучим ректррентное соотноиение для накопления ~ (у, б ) ° )(ия этого оператор Ли эвшеэем в виде (3.1.19) =э где 3 р =р Г, Ю = ~~%'. Гу)— В последующем во всех конечных формулал модем полоимть параметр э равным единице. С )Гчетом (3.1.16)-(3.1.19) образ пронээольной финкции д ( х, г ) в пространстве у примет вид Г Гу> ~" э ф (у) ~,.Г ГГу) ~п О П =Р Пайкам раэлокение Ю о Гу) в ряд по степеням я: И' ( у) гдэ Я Б К,„,Гу) = Х,' '...„(у) ,-=О Аналогично для внрахения л", ру! имеем у рь ~п л !—,,Р,„,УСУ! =2 "~„су!.
Найдем рекуррентные зависимости макну р Су! Сч=г, ир, су): l ! l ь с'(у) у су! с ) !! )~су! — )!~!Я з '~~ Су) ~ Д; з ' " ~ р (3.1.23) В результате сравнения членов при одинаковых степенях з в формулах (3.1.23) получим Ь~, СУ) = ь ~ '~ рва - СУ! = — 'Т !! (3.1.24) с~- д или окончательно А СУ! = !, ~'- ~~ уь,,„СУ! 1 ь! К, (УФ=~ Су! (3'1'2б) Яля отыскания 17 (у) осталось воспользоваться соотноиениями (3.1.21): Р Яз ~., Су)-~ — !.и'„" дСУ)=~, '~, 'з ' у Су) (3.1.26) =д и =о ' ь ~у) ь=о ~,=д Из сравнения членов в (3.1.2б), стояиих при одинаковых степенях б, получим (3.1,22) (3.1.29) Г Су) = Х рь ь Су) (3.1.27) А.=о Полоким з 1; в результате получим форыулы, позволяищие находить вырзкения для образа вакцин р (х, й ) при преобравовании х- у: уС )=2„д Сл), ц Су)=ЕЮ СУ).
(3.1.23) ° =Р у(у)=у(егерю сх!)= ~, у Су) ~ =а Последовательно выракая (!~ по фо;рыуле (3.1.2б) через ранее подсчитанные промеарточнне функции д,..., 1..., из (3.1.28) моино а (у) представить как функции йсходных форм: у СУ)=~ л'!,р ь СУ! = Й д~. ! СУ! где Л' - некоторый дифференцказьный оператор ( А. > 1; Л1, и 1): А =~ — ', ~.р, ...ю,, |~~-~,+....~,,ь(...,ь м,(3.1.3О) "Р=~ ннй У например, а,=р, а-Ю+ — Р Ю и т.д. Влагодаря установленному соответствию (3.1.29) для нахоякения с (у) иокно воспользоваться треутольной схемой вычислений, введенной Нэмилом: Б К+ Коо = Ко К~,с: — )'а. К~,о — К~,~ Из схемы видно, для для подсчета элемента рь требуется l знать исходную форму 17... и применить к ней оператор с'~„.
если хотя бы одна форма р = — О, то и все промеиуточные формы р =- О. Выпиием в качестве прямера нескольво первых ф((нкций с (У); Р,(У> =Р,(У), Д(У) =~,'. У,„'-ЦУ'У~ У,(У~=~,(У~ У,(У~, Кг~У Иго Д~~ Крэ Уг(У) ~~Фр~У~ ( гтл ~~~~)0о(У)~ у (у)=р,',~ с,' ~р,', р,' =р (у)+с с (у) р, -'.р,.(~,фу)+ (р — з.р)у (у)~-(с ~ —.гд+ —.с.э - — 7юю)у (у) В частности, по треугольной схеме мозно вычислить нормали- зупщее преобразование, если в качестве у (я, Б ) взять х. ( ( - 1,..., ~ ).
При этом Тогда 17у Сх) х' Яе~ ( «) ~~ (х) 0 '~~ ь 7 ", (У) 2 ",р... (У), =о х.,„(у/ л~ у,=( ~ — Я р, р у ~г~=г~ +г (3.1.31) ае=~ ' и~= Найдем теперь формулы, позволаэлие определять члены нормаль- ной формы обыкновенных дифференциальных уравнений (9, 14]. Пусть дана система дифференциальных уравнений с ~ ~ (х,г), ~ 7,...,~~. (3.1.32) т-О Пормелизующее преобразование координат будем искать в следующей форме: л.= ь Е з.
(3.1.33) Е , (у, ), где л ( у, г ) определяшгся по формулам (3.1.31). Будем предполагать, что в новых переменных у система (3.1.32) преобразуется к виду (3.1.3Ц) =о В форнулах (3.1.32)-(3.1.32), как и ранее, для удобства введен вспомогательный параметр к . Произведем подстановку з у в (3.1.32): р =у +~ с — з. (у,Е)= ~П Я' -~ Е "и* ь,'~ Е -"-'-'Р— ' Е г ~ ~ю ~>~ „,Гд ~ь) .„(У,г~ ь=з Огсшка будем иметь ( ~' 1,...,м ) 4Ю Ес р. Гл,б.)~ = ~,' з"~. (у,~)+ У ю=а — о, ~,~~ ~ ~у >.
~ . ~у ~) (э.1.36) Приравнивая в (3.1.3б) члены при одинаковых степенях а, что соответствует одной и той ке степени однородных форм, получаем ~Е П дд ,„,, э, ( ,~,~ ~ 1~ , (3.1.3У) Вместо у (у, ~ ) подставим внракение (3.1.29): ь-о У' У' ~)" ' ~ -г цо ~' "~ 39 Про)шолоким, что в формулах (3.1.32)-(3.1.35) определены все однородные форпц до степени (а - 1)-й включительно, и найдем аналогичные формы степени ~~.
)(ля етого, используя (3.1.29), перепишем (3.1.38) следующим образом ( у = 1,...,о; )с~ =~,~... ° г ) . -1 6,;о=.б;о К,; 'Е~*.",;„,1'~4у,о' Я--~ д 'б'~ ~-'~ г~~-; д д д Ао ду.Г >>М Л""~го3 ° (~ ге~ Е с" ему>'+ ае-г ' мн>х Обозначим Г ф;о д)з",~г 1 р р (>, (у) = ~' ~п", ) — -у. — с'— ~- — к., (3.1,40) У,о ~ О>п Ру ° Оо ду ° ~ дг Тогда (3.1.39) мокно переписать в виде операторного уравнения (3.1.41) ,7> -'г ~ни>» Индекс О в 1>. „соответствует членвм первого порядке в уравнеу б ниях (3.1.32), Фдекс соответствует тону, что 1>,,„, у„„уявялются полиномвми ( > + 1)-й степены относительно у . Таким образом, последовательно ревел операторное уравнение (3.1.41), монне найти все формы в правых частях преобразованной системы урввнений и нормвлмзующего преобразования.
т 3.2. Мото и злго и но э негвмильтоново системы в о тности полонения овесяя Опиием классический метод нормвлизвцки евтоноюык скотом лифференцизльнык уравнений обнего вида в некоторык критических случвях. Пусть дана система уравнений с енвлитическимк в нуле прввыми частями, предстзвимыми в виде ряда: х.=Ах >Х' ~х) ,хз ) . д (х) =(Х (х),...,Х' >(х(), где д' >(х) — вектор-столбец одноро)опк форм переменныл >,,..., > г „степени; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
