Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ (564383), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Здесь 1 г а'у а'р н==о, — =,с, с~: ' а'Е Огобрвиение т, как сяе)0ет нз (2.2.3), имеет вид ~ = 2 нО + )~,,б =,о (2.2.4) Получим теперь отобранение г цри помони ревения уравнения (2.2.2). Ивен,~' в таком виде: Г =~хну +з(~,'с '+ у(~)ур (2.2.5) Подставив зто выракение в уравнение (2.2.2) и приравняв затем нулю коэффициенты при ~-,,о'~ и ос' в его левой части, получим сметану дифференциакьных уравнений ~ч ' ыг ~ й ' ~~ь' — = — Ги, — = — — т .'з (2.2.6) Проделав вмяледия, апакогнчнме вмкладяем первого примера, получим прюизводнзув функцю о ( с „р', т ) в виде ~у2~.у~-;~~~А~ р'~.,~„ур'.
(2.2 11) ПОЗОВВВ здесь й Бя ° получим ороиззодзцув функций отобреаеняя Т, задаваемого формулами (2.2. 10) . Зй)(юйине. Функция (2.2.11) не определена для тех значенв» 6, для которнх сойду = О. Зто приведет к трудностям прн накоплении ~очечного отобракеняя не ЗВМ. Удобнее вместо декартовмх кооркинат использовать канонические сопрякеннне полярнме переменпме Т... вводюаю по фо1мулам у=УБг~лбе у, б ~юг сРя~р. Тогда функция Гамильтона для,осцнккатора имеет вид Н Л. а преобразование ~.', ~) ' — г, (о представляет собой поворот на угол др: г = г, ~о = ~Р + Л, Е, Пропвводнваа функция соответствуюцего точечного отобракения '() - -.)).
т 2.3. Раэл ение стоб ения в Пусть функция Гвмялътонв записана в перемеяннх ), и и имеет вяд Н(т ~~Н~н~~~, ..., ( 3 ) где Н - однороднне форин степеня ~п относителъно Ь~+" соде1мзике утловме переменнне р в аргументах синусов я косвну- У сов в виде комбинаций ( ~Р) 111 х /2 ''' Ж ~~ Будем искать цроизводяяув функции отобракения в ваде ряда л з (2.3.2) в юмором г имеет структуру, аналогичнун структуре 0„, . Подставив (2.3.1) я (2.3.2) в уравнение (2.2.2) н приравняв формы одинаковмх степеней в обеих его частях, получим Ю5 = О, д~г (2.3.3) н,=Л е е..+Л г (2.3.4) Тогда моано полонить де =."к ('р 'с '." " ' "и ( 'ри "и ) .
(2.3.5) Из (2.2.1) следует, что при таком выборе де начальные условия для Ю ( уд ,~ .', ~ ) ( ис > 3) долины быть нулеваси. Полнеем, как получать йормй Ю в явном заде. Возьмем в правой части какого-лабо из уравнений (2.3.3) два одночлена вида е икао(и(к, ср)+ Ьсоо (к, ср)] где . =у" '.' 4..- (идь0,2(',+и о...+и ) ис; 2ув цеаые числа . Сеответствукаме одночлены в Функции Х„ищем в виде , си ~о(Е)оги (к, ~р) + е(Р) соорк~рЯ, Лзя 4ункцкй с(е) к е(с) получаем скстему лянейных неоднородных ди$Ференциальнмх уравдений Ыс -(к,Л)е о-(с), — + (к, л)с Ые с(од е(е)=0; (к,Л)=кЛ о.к ее Ранение этой системы будет с =р(е)соо(кл, е ьуГо)сои (,Л) Е, (2.3.7) е =-р(е~ сеи (к, лдо' с~(е)сао(к, Юе, р(е) = ~ ~и(г) соо(к,л)со-д(')оси(" л)т~ие' ас (2.3.8) р(еу = ~'г(а(сто'и(к,я)с +д(е)сао(к,л) Доог.
о Полонив теперь в (2.3.2) с = 2сг, получим производящую <фикции точачного отобрвкения г в окрестности неподзианой точки = О. 7 е ''' и (2.3.6) где Ф 2.4, Но из я точечного стоб ения Свойства точечного отобракения удобнее всего исследовать, выбран такув сястеЮ координат, в которой зто отобраиение имело бы наиболее простой зид.
Эту простойную Форму точечного отображения буден называть его нормальной формой. Более точный смысл этого понятия выяснится из дальнеймего. 37 Здесь через Ю обозначен оператор: 27= д — ол 3 — +...+Л д д д дг % " и др„' Будем считать, что И, задана в своей нормальной Форме (см. $1.4) и якает внд Пусть в соответствии с предыдущим параграфом получен( производящая йу(нкцня У ( у., » ") отобраиеняя т: ,5'-» (П-гт),)+..л»„'У„-Хтда)+У,(~о.,т'.)~Я„(о,,» )+., (2.4.1) Явный вид отобРэнении т полУчаетсЯ после РаэРэменни относительно»»., у сиедукщих уравнений: — р = —,.
(»'=»,2,. м) (2,4.2) 3~ . д~ у д~о. ' у д-" У » Проведя неслсинма вмклакки, получю~ ну~,',»»',) В4Су',»»') ~ уф» ~~~. »»'.) ~4(у» Я Введем таперь новые переменные с', ~». так, чтобы максимально упростить отобрзиение (2.4.3). Новые переменные введем прн помокн производящей функции %'= о у ~... + о у„+ щ; (»::, ). ) . Эгв производящая функция задаат преобразование ~', у — + ~, $» Переход от переменных ~"х, » к переменнкм ~', б проиэвьднтся прк помощи той ке производящей функции к', в которой паяй только»';, у, заменить на р', ~с'. Из формул замены переменймх » д1н 'и' У ° »,)о' получаем ~~~»(~~Д~ ~ ~ ~~з(~о» Ф»с5~(~» ° Ф .4 р ~Ж'~~'Ю, "~'~У ~' йЖ (2. .4) Связь меду,".', ~.' и о.', д~.
получается по тем ке фортель (2.4.4), в которых всем йеременеаю нвхо приписать верхний ща)екс ноль. Попытаемся теперь тзк подобрать функцию )з„:, чтобы в прциэводмхей функции Г (»о., 8 ) отобракения ру, 8» — р, 6»б отсутствовали члены третьей степени относительно )»о,' . Подставив змрмхения старых пере~анния», )о. н»;, ~»т через нсвыэ » ' » ру, о и о'..
8( соответственно в формулы (2.4.2), получим уи»(Р,оМ»н~(д.,~) Жэ~ ~~ Р ') »» (2.4,8) ~%буЯ) ~%(Р«бг) М(~~Р«) Здесь в явном виде выписаны толью первые наяинейности по )Я и )>Р) . Из Фо)и«ул (2.4.5) имеем ) Р.-Р' ф-~'х;(~,.",В.-гыл))-в;( .;««.),,уд б.'=д.-гыл)«-д, ~пз(Р)б-г~.-лЛ-Ф;(о.',и)с4(«>,Р)~~ ...
о Таким образом, члены третьей степени в новой произвол«н«ей функции Р(Р«,()) =Р,о(В;г Л,) ... Рк(В;г»Л ) ЯВ«Г(~.",Е)ь.. (2.4.7) имеет вид « = %«(Р;, ф -ЛГЛ))-««»«(Р ь ~)) т~«(««),Р)), (2.4.8) Попадем, как выбрать к;, чтобы йунк«р«я ~' обратилась в нуль. Возьмем в 5, два такт одночлена: о'"~бо«п(к, 0) +Р ооо(к,д)1 (2.4.9) ЗДЕСЬ. Р""= О Р о . Р'кк, гК вЂ” цЕЛМЕ НЕОтрнцатЕЛЬНЫЕ числа; 2( и, + а, +...+ к„ ) = 3; 6 и Р - некоторые числа, одновременно не равные Нули, через ( к, д ) обозначена величина ~««т»кг««г~.
«Ког>к э Гда |к,1» ° +)кк! =3 ИЛИ 1 ° Соответствувщие одночлены в я" возьмем в виде Р ~ у 5еп (к,о) к д со5 Гк> о)> (2.4.10) и подберем коз$4нциенты у я д' так, чтобы подобные нм члены в Г оюутствовали. Подставив (2.4.9) ы (2.4.10) в (2.4.8), получим, что для зтого у и Ю долины удовлетворять системе акгебраических уравнений у(>-ооог <~,Л>) -Г«гог~ (,Л> -б', гоги г~ (к~ Л)» д" (1 — ооо ге (к, Л>) =)З (2.4.11) Определитель етой сметены равен Ф»гк'к(»,Л) Позтощу если величина (к, Л ) не будет цел«а« числом при целых к, ,..., к„, удовлетворявщик неравенствам «>» ) » (»,.
+ (к 1 з з , то Р мокно полностьв уничтоиить. При зтом )'= — 6+ — сфя (»,Л) )з, «> =- — сг~г«(к, л) 6» — а, (2.4.12) У г г «г г )з Проведя некоторые достаточно гроюздкие выплавки, получим, что при таком выборе к«члены четвертой степени в производвщей функции Г отобракения о., д. — Р.', («'. вычислявтся по фор./ муле — — — — — о.4.хз) » / К Рк Если ке число ( к., д ) будет цеаа, то свстема уразненяй (2.4.11) в общем случае ремения не имеет и, следовательно, еоответствуваие одночлвны в функция у: уничтоиить нельзя. Проведя аналоги аме воетроения, моино упроетвть члены четвертой, патой и т.д.
степеней в производящей функции отобраиеняя. Лия но(вмьэьной форв етобравения т прюиэзодящая фу)нкция будет еодеркать угловые переменные в виде таких комбинаций ( «,8 ), для которых ( к, )) - цеков число. Если нормзлизацяя проведена до членов конечного порядка, то ноХаалиэующее преобразование — о., В будет аналитическим относительно )/р ' у' у ' Заметаю, что все проведеннме в этом параграфе нормалиэующве преобразования мокно ваалнить более экономно, яепольэовав метод )(епри - Хори (ем. $1.2).
э 2.5. По ение Гамильтона по стоб ен Нс из гзмильтоновых систем и сомо точечных мама В э 2.2 и 2.3 доказано, кав по фуащии Гамильтона зоетроить точечное отобракение Т, задаваемое двикениями, опиеываеюак системой (2.1.3). Здесь кратко рассмотрим обратную задачу: как по отобраквнию Т построать соответствующую функцию Гамяльтонв. Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного рещения. Производящая функция отобракения связана с функцией Гамкиьтона посредством дифференциальных уравнений (2.3.3). Пусть отобрзяенке Т и фунвция Гамильтона Н в своей линейной части по ту имеют нормальную форму. Покавам, вак найти и ( у...
у ), веля 1 l известна фрикции ю,' (,~., ', г;г ) . l ' У Возьмем в 4йюЩЯи Хэ двв одночлена вида к' ~с кюи(к,у) т е сок~к, у)] где с и с, - койетанты. Соответствующие одночленн в функции Н будем певать в виде Г„с„,(Р>к ' )к, Т) т Ь (С) (;Т)1, (2.5.1) где функции о ('), Ь (с) считаем Ыя-- периодичеекиьа яо г . Согласно (2.3.6)-(2.3.8) они долины удовле1ворэть следующим соотноэеняям: с =((у т)ссэгя(к,л~~,1( тс)5:1 зк)',!), (2,5.2) с = — у(эк)к(ояг (к,л)у~(гч),.к 'т ~к,,)) где го ((2оГ) =~ ~а (Ь)соо(и,3)Ь-Ь ГО)остй;Я)сДссс, о го. )г(де) = ~ ~а ГГ)оси(и,г)Ь+ Ь (г)соо(кл)г~ ~6, о (2.5.3) Функции а (6) и 6 (Ь) опредакввтся кз (2.5.2) и (2.5.3) неоднозяачно.
Если ( к, л ) ме будет цааас числом, то их ювно считать не зависяииыя от Ь . В этом случае из (2.5.2) ы (2.5.3) получим а = — (и,Л) ~с сф гс(и,я)- е Ь = — (и,л)~с + е сф~гс(к,,?)~ Соответствусиие опночлены (2.5.1) в Н будт гс ссгс гс(к,ар)огсГи,я))ое соо(к(н,э)+ос(и,л)]~ . а Гк,г) гсс'и а'Ги, л) оо Если ке число ( и, я ) будет цепаа, то а. (6) и Ь (6) постоянспавг получить нельзя.
Пусть (к, л ) = к . Тогда, как следует из (2.5.3), прибавление к пункциям а (Ь) и 6 (Ь) гарвник вида гси рЬ к согр( (сг+ Н ) не на)()мает равенств (2.5.3). Пудам поэтому исввть фикции а (г) и б (с') в таком виКе, когда оня НЕ СОдвриат ГарыОНИК Ссарб, Срб ЛЛя рб Л, ПОЛОКСВг а,„(с)= а,сои ЛгобссосгГЬ, Ь Гс)=а осаФгоб согЛ~Е. )(ля чисел а;, 6, из (2 5.2) и (2.5.3) получаем соотноиеняя гс(бс аг ) см ос(ас ~с Ьг ) Здесь опять проявляется неоднозначность определения а (6) и Ь (Ь). Используем неоднозначность для того, чтобы получить яскоиые одиочлены в Н в нормальной фо)вге, г.е. чтобы ~(йнпщия содерквла синусы и косинусы с аргументамя вида (и, <р) — ае, #ля этого, очевидно, следует половить с с а=б = — о а=-6=в г Ли г с 2~- Входлиие в Н одночлены будут иметь вид — — у" )с оси ~~ и,т) яг +е соо~(и, у) — А'Е1 ~ 7 а Г гы После того как фнкция нг найдена, мокно из уравнений (2.3.3) найти ог ( У , с', Г ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
