Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ (564383), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кгакг пУсть в систеые с тРама степанами своболм и гагагльтоняаном (1.3.1) проведена линейная нормакизацвя. Прк отсутствии резонансов второго и первого порииков ее квадратичная часть монет быть записана в ваде (1.3.4), где и = 3 (см. т 1.4). Юля получения наиболее простых форнул в такой системе сразу перейдем к полярньзг переменнгаг по формулам о. =)22ру'оги гР, Бу = )г2о; соз)гг, . (1,5.1) В такгсг псиярйых переменнж имеам огг зосз здесь функции Бг „< ~ ) - тригонометрические гягогочленм. Вмгимэм форМУлм лвмь Дзя некоторых из них.
Остальные будут получатьса циклической перестановкой индексов (и переменных у ). Привакем талие формулы для коэффициентов этвх трягонометрических многочленов, которые вгцзаяают их через коэффициенты форм Нз и НБ в записи (1.1.8), Итак, зоо зоо , зоо зоо Бг; о = а Ззгг го за згги Б)о зБ соз)гг +Б соз БР г ' а с хги г г(г ~г ~ )2 ) 2 а охги ( - )о г )а з г)г ) 2 а ' оси г гБг - 'г г го ) 2 соз()о г го з огз ) з Б 'соз г- г)г г г)г з )гг ) 2 Б сос г )о- г/ г ггг ) ч а, ог~(~,-го ~ а зБж)ц г)г)го зги~у)г-г~у) а зги,лггг )гг )г зго .', зго зго . „.
зго + Б соз(т.ггг)гБ соо()г гг)г)зБ созгз~и-я)гБ соз(зуг тг ) — с са зггс2Г го оси 2)о за зги г2М-2)о)гого 2!иг.".ог2). ) г 22О гго 2 Бггосоз2госБггосоз2ог зБггосос гаи-2 гг ) зБ, соз г2 г)г г 2г)г г г 3 го ., 2О гзгзг= а зсггг)г-)г)га, зги~)г гог)гс', ';г'гг (2( г ог г 2И за„.гси522)г г2)г ц)ги",г 'и(зр-)г) ггг) г 2' зггг / 2)гг тг -9г ) г 2Бгоссгг )о — И )гБ2 ггоз ~ "за ) гБ 'соз' г 2 о'г го„' р' ) г Р г ооооо 'иогоо ' Гсгсоаг 1 ' дюою оаадоа) г„м'= 3/-3 . й ,,доа 2 1 ' '7200170 ~ адзю ) зююа помо) дза ° ЗЬ гооюа юазю) бзсо з (~310000 магм) гоодоо одозсо) Зсо с 'озюаоо магда) -(4 -А 200 юо ааозса) а'"= З(й + й г = ' мадза осогю) ' 220 3 ( сгоюо дассо ) г 1 б '=ОС сао.
га б =-а сх г 211 Зс 330 )1'О'0 ° :, = ЗС 131, В а/С -/С гаооа,гп.дд, 1 гсыд асма 0, =' 11ос 1 гюю» дог ', 7 гдмс гос' 17 " соп ас ' гюопа азама) с 210 3 з 11, г гмааа Иагаа Юаад а21а - б 07 010 3 гюппо аюгпо юоао 1 04 сй 1 00 Ю0011 ЮЮ1 Мс Ю 11 оа юоао оююс пасха 01 а «А ° Зс 3 110оо юоа11 дююс оююа * ю 0 1ппод юаос осо ос ао1 11а ° с 1А 0И дао дооом магоп додюо ° ( зооспо саозап) ° Юп= Д 11 аг зад сао юо зда (Згсаспо+ЗЗсаюз~а) 1 с(Зй 0 й зооас юагю ) ( г осд асозм) 0(ЗЙ 1А зааою юогсо) а =4 -4 31О з (~270100 асозао) (Ззаоого оогсо), Зза 0 ( 710 00 010300) 300010 юдгш) сб гга 2*додд -огогда мпаго агго 3 ГЗ 0 с.
юоюа юаюа) с(й -А гсоосо оюги ) а = — Ь -4 гм ( юо м споюа) 210010 010210) — й г11 а =а -хз ам 2сх 2 2 3 г11 'Зз сзг ззз )' с)'3 ад = ЗЗ~'Р~')' )1 и 3 337 ' 3 02 )3 = —,3 с 3 1 )' Ь'а=ай ( заопса аааип) бгса а босо--й й 3 гдааю дю210 союо бю--4 -й -~ сь ддаос Ю10Ю Ма ЮО111 бг попас ююю о ом оюю сй 04 аадос огюа дасю дюм 0 1 о ю юсою о сюа юаос оо 220) б"'--г(а„„„-/,„,м,)- 200070 00022д ) 1 гм г ( ггооао гога гад) 1 (~гадпга ~ппагга) гга 3 ( ггоаоа амгпо) -(а -4 304 гооо2о ааоггас сюссо гго ггаоао агама) -(ас -~ )-сг годогд оопгм) мосю ' П.5.12) (1,5.13) Х Кг4 К4+ г К4 Сгао 1 4 Сио 1 г Сзоз~з э Саго зг 4 (1.5.14) Коэффацаенты пормааьноя фо1эзы зйэноллвтоа по формулам С = — с — — с (1.5.15) оезееггез 2 21е„ггег,гоег 8 гге„зоег „ггез где величавы с гое ~,„з опаоывентоа формулами (1.5.8) к (1.5.10), е "поправка", возйнкааыне аз-зе но)зеелкзецкк членов Н акант вад з гоз азо оозгза гтз газозо оозгза ез 1оо1 1 се =й 44 24 ай -3 у азо гааги моги '.' 4 гоаои аеог11' 4 1озио Вое оотельные козффацаенты трэгомометрнчееках ыногочкенов аэ (1.5.3)-(1.5.4) получэытеа аз фо(кзул (1.5.5)-(1.5.11) цкклнчеевок заменой анлекоов геу а эу,,езз .
Теперь проведем моргммпзэацйв форм ~~ а ~... ула етого ооунеотвам вамеку с. 1 «и. — о г-, ео, которве авлкетоа эапноьв в по- ,7 варнак перемениык нормелазуэыеа замены аэ $1.3. В елучае отоутотвка резонаноов (1.3.14) до четвертого порядка вкамчвтельно нормальнаа форме (1.3.27) здесь монет быть запноена в заде оооо 44Зз,а,о (Еозоо 4 Ег,зоо)+ + '/ сига 1,по ' 1, аи сего 24 12212(зао о~а,,азезз,а о 4 еоозээ1,241 4 44згсго~ггзо" 4лг 1 о "з гзо 4 441 г о о, 1ю ' 4лог о ез ио 1 1 юг, 1,241 1,ОИ ЗеозооР1~эао+ 1~цо1~Э эооз 4~4~а1 о ззэз,'гзо 4 4кго и ее го114кг азез гоз" 441 а г е21 г е~12442 аз заг 4 +42111 зиз "4211ег т ззе-ззез,иззл11, зео,и1 ' 'с оо =ллооьа Сез,озо 4 се,азо) 4 4 Лье,о 1120 е 12,4 2,124 Л12,0 "з,зго 4 +4 о,о,зоиогз Лаз;1 г,о21+Ла,2,1' 1,421 1,ог1 1 412 11гз 4222 гзееао1~1ооз 44оэо~еозо4241оозз1, аг + 44 ас1, г ег, 4 12 4 414" а 1 г ез, 212 4 414' 42,-1 4 2, 421 1 За 1,1 4 з ом зиааз 12 '"-111",„,4 "1,-1, егзи ' осе 1 "1, и1 С .
ьде~ааи(Е 42 ) +Л1 а о Е1 122 ез-за,г "г,заг + 4242,2 Ез,эаг 4 ~~о,за о,о,г-ло, 2 2 2,2 яозг з,а12 . (1.5.15) (1.5.11) (1.5.18) (1.5.19) (1.5.20) (1.5.21) В етях йорцулак (а такие нике) ыенользоааны обозначения Ы ««(«,Л,«««Л«+Ф«Л«) (1.6.22) ьаюг з ! «««3 ю юаюа «!«3 реа юэ «!««Гю ею«~3 ««!«3 ю Ф«хз « *«3 где . м з с зндекоамм оцределяатоя во йцюююулан (1 6.5)-(1.5.6) я формулаыи, ыолученнюзюк нз ыюп цииличеекой вараотаяозкой яндекооз. В оюучае резонаыса (1.3. 14) третьего норякка з 1,.ю,.
ь', ю, «ю, л, = о, й = ~' ,) й,, ) «у (1.5.23) У=! нормальная фо(зюа П.3.29) црннвмает зыд Л =К, ! дю ! ..., Ф = 1! Н, + Ф,, су~, + Ю!ю зрю, (1.5 24) .~!.! !, * Ф «~ !,! ' «!«' ~. (15!«! (цы етом резонанонйе козф$ицвенты знраюзмтоя через козффюциеиты (1.5.5)-(1Л.В)„получающиеся из ивх циклической перестановкойю !ю<~ !ю«~ !~ю! ! ' !) ~ю«) !~ю) а, !! = — б,, (1.6.26) где индеко у легко опраделяетоя но зилу трмгоиометрычеекях ияогочленоз 1~~ю ( !ю (у ) из (1,6.3) В случае 'резонайоа чеюзертого веризма 3 ь,л,+Ф,л Фй л =о, 2„"!$~.)=Ф (1.5.
27) /.! нормазьыая форма (1.3.29) вриыиыает зид ««ю (1.5.28) где Д„ н !',, К„ ояраделяытоя но 4)орыглан (1 5.25) и (1 5.13)-(1 6.14). )(юя резонаюоиык козй4ююцнеыюоз л (дли Ю аналогично) получаем зюцаяеныя ,ю>~,~ю.~,~ь,!, !ю,~,)ь,~,))„! У 1 Возразим Е ватно знпяоать для лмбого коыкретного резонанса отдельно. Люя резонаноа Ы,- лю = б ~ г,!,: -!! ! 3,1!с ! .!!,! гч!! 3,20! ', !;!! гч-!))ах!!! 27 Дзя резонанса ЗЛ од =д зго ~ з,мо г,гго ) гзоо г,гго) ( -,).ь"Ч 1 2 3 (1.6.32) ( .6.33 Здесь и ниве фор()глм для В получавтсв из соствегствувщях формул для з замеюй и —,з, у- Х, При резонансе четвертого порядка г(д, ° л,) - В (нее Ф = Ю, ' ~, ) (1.5.34) юрмальная форма таюе описывается фориулой (1.6.23).
Однаю ее резонанснав часть имеет более сюиный вядз Л = [я но Ф~В, оозФ1г г г (А гзгг 2Ф гВ гозВФ)го + Г зм зго З Згг Фг Г гго гго о гого глг,о г ~зо гзо ог з,'г Г ог гг з Фг Вг А - ФВ [, ',, ) г [г,+г,о г, ' (1 6,35) Объясняется это тем, что резонанс (1.5.34) было бы правильнее трактовать не как резонанс четвертого порядка, а вак резонанс второго порядка д(з,ь = О с простыми элементарнзеги делителями Опредезпнзлей матрицы лннеаряэованной системы уравнений.
В (1.5.35) резонансные козффяциенты таковы (для величин В с индексами аналогично): Зза 1 Зза А — а г,го г (1.5.361 »»г — а 7 7 302 1 310 1 310 -а - — а 270 З» ЗЗ 1 220 1 220 1 220 гоз Ю згз »за 1 »за 1 ззо г" ю »»г 1 02 1 пг — а — — а 770 0 З 8 1 220 2, "7, О ЗЗО 2,"7,0 ог гог, а 1 220 — а 1 Ззо — а Т 1 -3»О 8»гг -гго в 1 ЗЗО в »22 2 (1.5.40) 3дееь вирааи а выаплззззвезз пзз 4ор<улазз зза эзао 1,»20 .: З,г»о з,гго э '00~ 0»зоа зг»0 г,э а/ -згоа г,эзо»20 3,!го »г«' ~»г»0»»2 011 (0»,э» З,„ьго»»(,З»«з 1 2,»з»» 2»о 1»го з»го оо» ззз гз»з га» -11110«г (1.5.391 а 20.0»,эоо г,зао 1 2,»,о з з,г»о з,г»о / 17о г,заа зго» эоо 1, »го / 2;»о а ггзо »О 2210 -»20 З 012 20 0( 1 107 2 210 З »з («»»,з 1,2.'ог „О( ° » з, 3, »г', -з о г а;1,71 г, о»2 Зо 2 0,2,2 з »02 эозг» «»201»» ' .г,"' » д 2~~~ )» о,з, зо»,зг,о»з оа»»,аоз з, »» ,» » агз 2 ааз 29 а величины а,е'«Ы,"' вичясвютоя по фориулам (1.5.37)-(1.5.38), з правых чаотлх которых надо оделить эююну л «-+ л«; «««с Ревомакопые коэффициенты для оотальпкх резопаяоов четвертого и второго порядков (о проотюю элемептарпюю делителями) вычиолявтоя по фо1Юулам (1.5.29)- (1 5.33) в (1.3.37)-(1.3.42) о соответотвувкеп цикзачеокоп звмеяоп впдекоов и ваюгкю й,, я«, А,.
)цють теперь ямеет меото реэомаяо второго порядка А, й«=о о пепроотюю злемептарюаю дааюелямя опракатящей матрицы лияеаркэовапяок оиотемм урввыений. После цроведвюю пеююедпод пормализукпей замепы перемеюпм ююем яорюлькуи фо)и(у К=у~а~«й.С«~ (1.5.43) й'"=,-'Я',') (а,';а,Р,) Е...;.А(а,' а,'), (1.5.44) где з к'" ообрани вое чяепм, имююие порядок вилюе с ' при замене ай=яай, .й =-- 'Рй (й~, ), = е''; .
Козф4мциевт мормавьной формм А вырэиаетоя через коэффициенты гвмкльтояяапа, квадрвтююая чаоть которого приведена к пориаяьнов форме (1.4.15) (к нэд мэе добавлено олагвемое Л,~;=Х «,;) олелухщям образом: А=а — — (й «й ~~«~'й «й д'« ~« ~«1 ь«8««~ (( г«««а «««оо«' ( ««о«о«ог«а««/ зл~с ««г«) Р ««««а а««оа««мо««!, ~ «««««ого о««««««« «~з ~(й й уй )«( й уй )«~ .«й««„-2««) ~ «о««««аг«о««3 ь«а««« ~ ««оо о о«««««о«« Здесь через а,, обозначеко то выраиепие для коэффициента А, которое ююег место для ояотемм о двумя отеаепюю овободы: а — йуй «й «уй ) + ь«я ««а««««аа ««««/ + — (й (Зй «бй «И )«й (й «Зй 8ю «ма«( «««««а««а««~ ) «г«« ~ г««««га«) -й (тй «уй +тй )-й (й «Зй )) « «««« ' ««о««««о го«««««о«««м «о«о)« — (гЫ«ый й ° И « убо~~ ~ 'з««««а«а «««о ««ао (1.5.46) Пря подотаповке (1.6.46) в (1.5.45) надо формальпо заменить й (««,"«г па йу «0~ «~ «О Пйж оотальяых резопаноах второго порядка но)юэльяая форма гамяльтояяама получаетоя кз (1.5. 43)-(1.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
