Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ (564383), страница 3
Текст из файла (страница 3)
однородные полкномы Х,~,к ) отепенв ~ отнооктельно координат н и импульсов представим з зада г - х 71, где т - созокупнооть таких членов яз разловеняя вада (1.1.8), длл которых суммы показателей отепеяей координат н юаульоов одвнзковы м разны ( . Совозутзюсть таках членов назовем гарюникой о хврактернотячеоккм вектором 8 . Отметая, что ь форме,"„, обнов колкчеотво членов Л~„, я колячеотзо членов с харавтерястячеоквм вектором Ю определзытоя форзуламв 13 (1.3.8) М л (1.3.П) Пели Ы„Ф О, то в уравненяи (1.3.11) юэффвциенг новой функции Гамильтона ~ „и моино половить раэеи нуле, а коэффициент производлкей функцки вычислить по формуле ~'оГо = Ар /л 0~4~. (1.3.12) Это означает, что выбором коэффициенты произэоллией функции по формуле (1.3.12) удалось уничтовнть соотзэтстзуиияй член в яовой ф)нкцки Гамильтона, тем самым упростив ее.
14 Обиее число гзрионик ь„' = с„„ Подставили в операторное уравыэыве (1.3.2) формы х, ы- ° к и /~~ ° нэтрУЛНО Убелитьси, что ПОЛ1(ЧФННВИ система Лэнэйиых ВлгэбРВических УРаэнвыий Относительно Гт с Н603ДмьизленнзйОФ й„в правых частях расвавется на подсястеаз неэаэясгмых от других подсистем уравнений, которые соответствувт га(домикам с хэрвитеристяческвмв векторамк Б, где 1= .
Поэтому прм ревеняв операторного уравнения (1.3.2) будем рассматривать толью члены, првнадкэвывие гарюниие с дюпаа характериствческям взвтором ь . Прв ременяи опервторного уравнении для данной га)моники перейдем к коиплексвым переменнзв о.", р. с поювьв канонической заменм переменных (г = г-'7) Ь ~г (б" у'01) ° "1=Рг Ж ' У~' ° ' Обрзвнаи замена имеет эыд .у у' Г (Ь Ыр' ) б т(рд 163 Ч3) 3 пермзминэс о., р функцви и принимает зид Н*=' 1. О" Р", (1.3.9) 2 „:=у,/ У 1 В юэффицнвиты форм у удоэлетюрзхт Осотнсыэнилм ВеиэстВэннссти ь =б Пд'л (1.3.10) ~м ';, у о(м.
Подставлял (1.3.9) з (1.3.3) (~',ы', х" - соотээтствуиние фо(ввз, аапвсанню в комплексных переменных), получаем, что и дзл ДаННОй ГВРМОИВКИ ОПЕРатОРНОЕ УРазвэнна Раовадвэтол Ыа Лз (ЧИСЮ членов з гармонике с характеристическим зектороы б ) независимых уравнений: Если Ы„, О, то ыз уравнения П.3.11) коэффициент ~,",,и определить нельзя, преобразование становится неоднозначным, а в новой ю)б(нкцин Гамильтона соответствуищие члены не уничтояавтся. В этом случае п1ыходится полонять 4;, = ю ...,, а коэффициент производящей фчпюции ~,, мокко взять, например, равнювю цулв. Рассмотрим подробнее случаи, когда К„в П.3.11) монет обратяться в,нуль. Так как зсе числа ы полокительны, то нто монет пронзойтя только в двух сзучаях: 1) чысла м рационально независкюаю, а Р.
= О для всех / .у' = 1, ° ° °,и; 2) существуют такие целые числа и ( у 1,...,и), что выполняется соотноиение ~....,=о, 1:1 П.3.13) или, иначе, .'~, 'о. я. = О Ю. = д.и . П.3.14) 1 1 У l В этом случае говорят, что имеет место резонанс П.3.13). Число и = 1. ~ .~ называется порядком резонанса, а ю'-(г„, ю„) 7*! - резонансным вектором. Рассмотрим сначала нерезонэнсный случай.
Ренан в цезмх числах систену уравнений ,—,, =Р,=О, получаем с =~ = — ' г,, т.е. все коюяюоненты характеристического вектора гармоникй 6 в этом случае могут быть только четнювюи. Огсвка, в частности, следует, что в нерезонансном случае все чзены нечетного порядка ( ° — нечетыое число) в новой $юнкции Гаыильтона моино уничтовить полностьв. Из членов четного порядка в Л' останутся только члены вида Дю Х(() Р) .. (~ Р)' П.3.15) и'2 где, как нетрудно показать, числа й ю ю = у ю, л будут нли и ю и'г вещественными, или чисто ынимыми (см. соотноиение вещественности П.3.10)).
Теперь в к,„и ю по формулам П.3.8) моино перейти к вещественным переменнюзю 0ю, Р, а затем к цолярнювю переменным ю по формулам =1 Б" зюо~р, Р = — ~2,~ сну "1 ' '.~ ' 1 П.3.16) Замены П.3.8) и П.3.16) моино объединить и сразу яе от переменных (),, : перейти к полюцюным переменным по фо1мулам П.3.17) (1.3.19) В переменных ю-, сю член (1.3.15) принимает вид (1.3.18) где эещественюиюй козф4юциеыт с~~ ю вычисляется по формуле (эсе г; - четные числа) 8 сю =(-~) (11 ~ ) Дю ю Пусть теперь эюяюолнеыо резонэнсыое соотнопеняв (1.3.13).
Птя того чтобы выяснить, какие члены нельзя уни вопить в вовой фйяюкции Гамильтона, сравним соотноиенмя (1.3.11) ы (1.3.13). ранения аистам уравненяй т +,« = ~ °, ~. ' и амевт эыд = ~(Е юи ), р.=-((Е -м ), (1.3.20) ю = ~(Е.-и ), ~.- ~(Е юи ); у=г /' у ' У Т у У' (1.3.21) прк этом, очевидно, нщв, чтобы !и;) л е („т'=7,...,ж) . (1.3.22) Это означает, что в иакиой гармонике, для коюяюонент характермстнческого вектора которой выполнены неравенства (1.3.22), ыельэя уничтокить по два члена с показателями степеней (1.3.20) и (1.3.21) соответственно. При этом числа г ° и . долины иметь l ' ./ одинаковую четность.
Иэ (1.3.22) такие видно, что резонанс порядка и первый рэз прояэляется при нормалкзаюкюи членов этого ке порядка. Поэтому рассмотрим ваяний частный случай резонанса (1.3.13), когда порядок резонанса и совпадает со степеньв нормализуеыой формы. Так каз Х ! и 1 = Х Б. =, то, учятывая (1.3.22), получаем, что .,ью резонансные члены останутся только в такой гармонике, для которой ю =~и 1=б а, 6 =юю)юли. =11, (1.3.23) 1 1 1 l ./ l Козффицденты этих двух резонансных членов в К' с показателями степеней (1.3.20) и (1.3.21) обозначим через у„", и юю" „. Зги числа явлзитсв или комплексно, или вещественно сопрякениыми, так как удовлетворяет соотноиениям вещественности (1.3.10). После переходи к полярным переменным ю, юл по формулам (1.3.17) зги члены принимаит вид ЖЩ'",)~' ' „" .
П324) где (см. (1.3.14)) Ф М У =~с Г.~ 7, = ~, д' .У = ~', У.,~у, (1.3.25) 16 а венеогвеныю ювффнциеюы я„н в„внчнолявтоя по форцулам А =-г.т~ ~ =21~,6, 8 =2 Кем =2 ЕеР, (1,3.26) У х 1/'(1~Я„Я г 0(1-б) и =Г П (-с) мг х П '.,т И' 47 у т~„'("Ю Аналогично операторюе уравненне (1.3.2) моию ранить в иаидом порядке. После этого, зная г и к, юино вмчнолить У по формулам (1.2.20) и продолиить нормализацию до членов нулюго порядка отнооительно иоординвт я юпульоов. При этом, яаи легло видеть, те члены в л', юторые уие нормваизовзым, изиэнюьоя не будут. В нерезонаноном случае нормальная форе отепени и (т.е. но)зюаэиэация проводнтса до чхенов озелени м отнооительно координат и вмпульсов) функции Гамильтона возмуненного двииенив будет иметь вид (ом.
(1.3.1Я)) (1.3.27) (м> ~ ,",— ~'~ ~ ~ с, ' с„ (1.3.28) ,/ ' / =г из г' Здесь все чиола (; - четные, а ввадратню оиобии в индексе означают операцв взятия целой части чясла. Кви одно из полезных свойств нормальной формы (1.3.27), отметим, что система с уиороченной функцией Гамильтона (1.3.28) интегрируема (7]. В случае резонанса (1.3.14) поряхие ж нормальная форма фгниции Гамильтона будет вметь вид (1.3.29) Коэффициенты с„, в (1.3.28) и юэффициент С„в (1.3.30)- инварианты фунвции Гамильтона отнооительно канонических преобразований (11], т.е. не завиоят от способа нахоядения нормальной фо $ 1.4. Линейная но из я Как видно из $ 1,3, для проведения нелинейной нормэлизации необходимо сначала получать нормэльнув форму квадратичной части гзмильтонизнз и..
Лхя построения линейного нормахизувнего преобразования рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений, соотвзтотзующую гамильтонизну их: 17 где Е и О - единюаая и нулевая матрицы порядка х, а В е с т Н- — х Жх х г Р т.е. Ж вЂ” матрица квадратичной форав и, . Тогда линейнаа нормализация заключается в проведенаа такой лсасеМной замены переменных х = Уу, (1.4.2) чтобы в новых переменных у квадратичная часть гамнлътониена быка записана в нормальной форме. Соответстъуяная система диффе- ренциальных уравнений такова; А =~7,7Е, рЕ = Иски "забыть" про гамяяьтоновость скотник дифференциальных уувэнеаий (1.4.1), то задача знвчитвзъно облегчается и сводится к поасиу но1мазьного вида матрицы А .
Как известно (12), з этом случае сунествует преобразование (1.4.2) ° приводящее матрицу к ее иоуданозой форме, погорел к будет определять нормальнун форну. При этом матрице А~ в (1.4.2) составлена яз собственных и прмсоеюсыенкмх (в случае кратксю собственных значеняй) векторов исходной матрицы А, а матраца А' состовт из соответствунынх корданознх клеток.
После неслоиных преобразований мокко тащсе при необходимости записать и венественнув норсальнуз фцну линейной системы. Однако в случае, когда урввненяя (1.4.1) гзмилътонозы, проблема услоиняется тем, что линейное норнзлязукнее преобразова- ние (1.4.2) колино быть каноническим, т,с. матрица А сяыплехтн- ческзя с 83.
Систему (1.4.1) будем считать ззтснсчюй, с.з. 1 не зззяс,: явно от .' . ()(лз незвтсн васях систем т зс, ". ". Ап ..чнтын линей- ной нормализации, нзпгнч р, сн. ~ Р',) Взаимен очргхелъехс (херзхтерис" ъ . сЕ;счюжссз л с о:, о '. системы (1.4..), а.'Ас 1 - А Е„ Преихе чем описать ранение задача линейной поразлаэацки (см.
~2, 43), сделаем небольное отступление об увюйчввоста. Пело В тОме что сами методы нормализации нелинейных двффе ренцвальпнх уравнений лэллвтся, кзк правило, знструментон реыенал тех задач, дхя которых полокение равновесия усюйчвво з лияейяом приблякеяки, Но, как нет)пдю показать (сн., нзвример, (2)), ююогочхен в левой части (1.4.4) содеркат только четпыз степени б . Поэтому если у него есть корень 6 а.
с отрацвтельыой внлествепной чвстьв, то обязательно я корень в' - а. будет с полоактакьыой знзественяой частьв. Следовательно, системз (1.4.1) (а вместе с ней и все невозщ(яеюое лвикенне) неустойчзва. Верочем, я длл случая неустойчивости юеейной свстемы вонью эюясать линейное но)лаьхизумлее преобразование, а затем првмепать излоиеяяые в т 1.3 идея раненая операторного уразненвв. Итак, пусть уравнение (1.4.4) не пюет ко)ней с ненулевой Вещественной чвстьв, т е. 6 = 'л., б.,„=-хЛП, 1=)l-7" (у=~,...,ю), (1.4.5) где Л - эещестэензне числа.
Р Нормальная форма Н будет резки пой з завясямости от кратности собственных значений 61 и 6;,„матрацы А . Но в лабом случае, найдя зсе Л; после ревенвя определлищего урввяеыия (1.4.4) ° изино сразу ке ззпясвгь соответствуищув такому пх спектру магри(г,) ', а зыачит, а нормальнув фо)в(у н', Таким образом, остается лваь нзйтк само нормвлизунзее преобразование (1.4.2). Искомая матрица л линейного нормалиэумэего преобразоэанва долхва, во-первых, пряводять матрицу А к виду,(~., т.е. дл' = л'А (1.4.б) Во-вюрмх, оне долина быть всщестзеяной в сяюлектической: Л'= Л', й' ТФ =сТ, (1.4.7) Здесь черта означает иоюлексное сопрзиенке. Ранение уравнения (1.4.6) существует только тогда, когда матрицы А я л ' подобны, т;е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
