Учебное пособие - Методы и алгоритмы нормализации ДУ (564383), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Нрэхтическое осуществление канонических преобразований з методе Лспри - Хори опирается на исполъзование рядов Лк и пре- образования Ля. $1.2. Щод„~~у~Хо и Методы Лепри и Хора разработ ам независимо и почти одыовременыо. Общее дэя ыих то, что оыи явлэвтся методами теории эозмуыений, основзынюи на преобразовании Ли. Главное достоинство этих методов состоит в вх реиуррзптностн. Задав ыа входе соотзегствущего алгоритма значения коэффицвентов исходной фнкцын Гамильтона и указав пораиск (отяоснтелъно малого параметра), до юторого надо проводить нормаэиэацяв, иа вмходе етой процедуры юкио получить вормзльнуп форму в, если необходимо, саю яормваизущее преобразование. При нормаиязацкя югуг потребоваться некоторые лсполмвтельннз сведения, наврвмер, информации о встречащихся реповансах. Но в лабом случае всв зту информацяв моннэ задать ыа самом первом этапе.
Рекуррентность талые означает, что ни процедура нормализации гамилътоимаыа в каком-нибудь порядке э., ни ароцелура вычисления поправок к чиеыам более высокого порядка ые зззисат от саюй величины ~ Изловим ютод Хори в модификации Мерсмзна и покавем его применение к проблеме юрмвииэацаа гамнльтоыовой сястеа в оэ;рестыости поювенвя рввновесяя. Рассмотрим опать систему дифференциальных уравнений (1.2.1) гг др ' и ду Пусть дана каноническая замена переменных п,р — ~ Д,Р (1.2.2) которая переводит светай( (1.2.1) с гемильтонвэном и в систему (1.2.3) с гамяльтоыианом К . .Суть метода эаклвчается в том, что преоб1азовение (1.2.2) представляется з виде ревения вспоюгвтельной канонической системы дефререн)изльынх уравнений с гемилътонизнсм 5 я временем т: Ыу д8 Ыр д8 — эу-- у~ (1.2.4) Ыч ыт Эг Начальные условия при ч О возьмем з виде р=), г= г, г= н-к=о.
Лакее для ~щоототы будем счктвть асходнун окстему автопсией. ПуотЬ З (1.2.4) т" - Маюб) Параивтр. ТОГЛВ фОЛМВЛЬЮ рЕМЕЫНЕ урввненкй (1.2.4) юкно представать в ваде рада Тейлора по пере- менной т как по параметру. Точнее, пусть задана пронэвольная скалярная чпнкцая,~ (у,)) ). Тогда ряд Тейлора функцкн у будет ныеть зад о 1(Ч(т)='- ~,~ р у(ч Р> (1.2.5) 1=о где ю - дяфференцкальннй оператор Лк (нногда этот оператор назк- вазе оператором Лк с генератором У нлк оператором Лк с прокзво- дяней функцяей У ), определяемый с покопав скобок Пуассона ю слелуннену правнзу: — ~у — ур- - — — — ~-~, .7 'У=~а У (Л=Ог,...).
(1 2.6) ~д5 3у дХ д Отметам, что в определенна функцна ту (6 р) перемеыню д, монне заменять на лабун другун гэру коннческм сопрякенных переменных, поэтому в двльиейаем они будут указываться как аргу- менты только тогда, когда необходяю нзбенать двуснысленного толкования.
Свойства оператора Ли подробно оклеены, нвпрнмер, в ~10). Преобразование Лк теперь юнет быть получено, вели в (1 2.6) за у брать последовательно о,,...,о, р,,..., г, а параметр г полонять равным еднннце (полное ревенке уравненяй (1.2.4) валяет- ся чисто форнахыпаю,н вопрос о сходнмоста рядов по т' вообне не рассматрмвается) . Преобразование переменных, определяеюе фор~у- лвнн 1 Л ь= г \ (1.2.7) — ' — ю'Р. (~=С...,и), (/= 7,, и) нвзюается преобразованием Лн с генератором .5' . Обратное преобразоэанне (), Р о, р получается яз (1.2.5), (1.2.7) и навет внд (-!) ь (1.2.8) А=/ (1.2.11) т.е.
будэм расснатрнветь преобраэоэення, баковке к токкествэнннм. Оператор Ля эапмэем в ваде ю= ~', ~""ю,„,, а ~ =( >, к Тогла, ваяв эа )' в (1.2.9) фчвцям Гамильтона, мокно записать н Г у, р.) = к (О, Р), (1.2.14) 1 > ~Л Н(О., )=~ с (М, '). ь=о =о >О Очав вавмо, что оно само нтаеетса преобразованном Лэ, но теперь с генератором (-8 ) ° Основываясь на овойотвах опетмтора Лк, асано показать, ото цреобраэоэанаа Ла обраэуат к>яв(утетаввум грувпу ареобреэоеаммй. Оюснла, в частноста, вытекает веаность в перспективность ярн>опе- нка преобраэоэаана Ля во >авгяк реэдекак математика я мвканнкн. Тапи образом, правое преобразование Ля щюкэвольной >)упкцка навет эяд Ю(в, р) = Š—,', л'~(б),р), (1.2.9) э=о а обратное преобраэоэеные той ае функция ммно эепнсать так: .> ( О, Г.) = ~ —, л ь~ с у, Р~ (1.2.10) ь=о ~ Теперь поено забыть п1о проысхоккенке преобразования Ла ыэ равенна уравнений (1.2.4) я прявмнмть его в теоркн воэмуненай.
Ляа етого предстанем функцнв Гэмкаьтона в еяде н(о,р) = ~ э Н (>у,р) . >и=> Ййый параметр я > так аь как В ренее параметр '.Г > меана рэссмат тмэать кек улобянй >циам эапнсн раэкокенка (1.2.11). Например, если ведется (м>элоаеные по степанам координат н эмпуаьсоэ э окрест- аостн пояоаемяя равновесаа, то явно малый параметр тем не прясут- ствует. Новув >(ункцкв Гамвльтона>. удоэлетэормыаум уравнениям (1.2.3), а проаэводаауе >)УНкцкы Ю преобраэованкя (1 2.2) танке представим в энде радов К(О,Г) =Х э К Са,р), (1.2,12) =о УЯ,Р)= ~ э 5 (Я,Р), (1.2.13) ж=1 (1.2.16) Введем обозпаченая: вн(а,р)= ~ см™л ( Я 'и (а,ю)= ~ =о "' ьо = Д -"и, (а,р), (1.2.16) =о лля оператора лк степана Й разеястзо (1.2.16) мозно зависать пън(а,р) =дусь Р™'И (а,Р), -у и = — ~р,и Й, ь, с~ ь-и -с В (1.2.16) будем считать й > 1, и > 6, Если мве обозначить и, -и (1.2.17) то систею определений (1.2.16)-(1.2.17) ф(наций И станет й Фы полной.
После подстановки (1.2.16) в (1.2.14) юлучни к (а,р) = Е и,, ('а,.р). ('2'8' А о Величюы иа юзно трактовать кав злемевты бесконечной матрицы, з которой с означает ноюр строкы, а Е - юмер столбца. Тогда К есть просто сумма елемеитов ~ -й днагоыакы, а юзнй гамыльтониап л - дзойыаа бесконечная сумга злеюмтов такей тре- угольной матрицы. Прв другой трактовке зеличвы (1.2.16) процесс вычисления к' по юзестню нь получил ваззамие треутольюго ревуррентного алгоритме и схематычески юыет бюъ взобреаев з энде следумлей таблвцы: до ~ иоо и~о и, — и„ни - и лу ~ — нор ~ — нр> ~- и~г ~ — ноз ) иь и,ц ~ — и>~ ~ — и,~ им и~,, Отметим, что уравнение (1.2.18) в треугольный рекуррентяай алгоритм применимы не толью к $ункциы Гамюьтона, но н к забой 6)нянин у (у,,о ), нмемзей представление з зыке (1.2.11).
В част- носта, они применимы к самим переменяю о,р. Итак, установлена сзюь маау новой ы старой купаниями Гамильтона з прааполокении, что генератор преобразования,у 11 ызвестеа. Нс вта яе соотнопеная асино теперь использовать н для юрмализацак, т.е. дка нахсяденаа самого преобразованпя на основе требований, цредьявлаемых и виду нового гвмильтониана. )(ля зф)юативыого вмчискенна перепинем осыовное уравненые (1 2.18) в ваде ю,у, =ы,-к,, (1.2.19) где У'=~ 1У Ь б з-л Б ы =а, + ~ ю„, и - ~" и Яюмю внрэаенмя б; через и, °..., и, а К,,..., к,, щю 1,2,3,4 имаме вад ~-н, в=и ~ю (н~-к); л л Т ы и у 7(и к) хакан к 1.г(в к)1 з л Т г ~ ~ 2 ~~г зб ~Ъ =~~ Т~з(~~~К) ТК~ ~ г~ л Т~~(~~ ~тЪ (1.2.2Э) Реная операторное уравнение (1.2.19) последовательно для = 1,2,..., находам у , л;, ы , л , л;,...
вплоть до требуемого порядка н . Затем, если необходимо, находим явный вяд нохмализуимего преобразования (1.2.2) подстановкой у.,,о в (1.2.18) У' ° / вместо Н . Отпетым, что описеынув процедуру моино распространить и на случай неавтономных гамильтоновнх систем. Прн этом в (1.2.19) оператор л, замеыяетса на оператор Р, + д /дк, в 4йакция в по-ирмзиецу ююмсвютса по йормуле (1.2.20).
$1.3. Репена оп то ого неняя ы но нвя гамильтонизпа во ного иаеняя Применим описанную в $1.2 процедуру метода Хори к задаче нормализация ~(ункции Гамильтона возмуиенного двиаения. Кзк н в методе Биркгофв (сн. $1.1), которнй и создавался для реаення этой закиня, рассмотрим кзноыичесхув систему с йункцией Гамильтона и, представленной в виде ряда в окрестности полояеыая равноУ=Э~,~ Н +, (1.3.1) где и,„- однородный неявном степени ~~ь, записанный В Виде (1.1.8).
Будем считать, что рассматриваемая скстею автономна. 12 Правде коего, оравнаваа рззловеняя (1.2.11) я (1.3.1), перепквем операторное уразыеняе (1.2. 19) в ваде ЮЮ =Ы -Л" (1 3.2) где лЮ =~Ю, н,~, (1.3.3) а р - оператор Лв с генератором ь' . Мналогюктнм образом мозно перепвовть формулы (1 2.20)-(1.2.21), заменив Е нв с помояьв ооотноаеывя г =~ -д. Ревенко операторного уравненяя (1.3.2) будет раакюывм в за- знояноотя от овойотв квадратичной формы ь . В дальмейвем до конца зтого параграфа будем реооматрязать так называеей( случай обаего паковеняя.
Однако основные язлоаенные нане ндея н цряемы реечная операторыого урввнензв будут опрвведлявы я дла дугах выровденевс резонанонык случаев. Пусть двяаенне, опракеляеюе линейной оястемой о фйнкцяей Гамвльтона и,, уетойчмзо, а чаототм этого двзаеняя ю отлнчны от нуля н ня одна яз нвх не равна другой. Тогда н монне прн- зеетя в вязу (2~ (1.3.4) 3 =У.м, ~~=.'7 (у'=/,...,и). Заметам, что форму ь', мозно прввеотв к вязу (1.3.4) я з озучае разных чаотот оу > О, но при етом злементарные двзвтелм овреде- ллызей матрацы линейной енотовы долкны быть проотюа~ (ом.
т 1.4). Прадотаввм формы Г~,б, к' в ваде (1.1.0) о козффвцнен- тамн л, ~, А ооотзетотззнно в обозначям м, "~ы ' ьв "~~ ' "~"'Рь ч=(„... „), рс-(~,,...,, „), ~.=~> ° ~~и (у=7,, и), (1.3.5) у.=~~.,ы х;м., е=Х ,.,У* г, 1 где», '- целые неотрвцатазьные чкола Накдув форму Т (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
