Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тензор Т = [~тд)1 называется тенэором напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор т, — напряжение на плошадку, перпендикулярную оси х (рис. 8): + худ + х21~' Здесь т„— нормальное напряжение; т,„, т „являюшиеся про- екциями вектора т, на оси координат у и г, есть напряжения, касательные к плошадке. Рис. 8. Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нормальные составляюшие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляюшие напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям координат.
5 б. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Исходим из интегральной записи закона (2.6) [[[ [ — (рт(+ рт 9ч т — рР~ ат= [[ т„д5. (5.1) Используя для т формулу Коши, преобразуем интеграл по Я в правой части (5.1) к интегралу по объему т, применяя фор. б4 мулу Гаусса — Остроградского: ~ ~ т„с[Я = ~ ~ [т„сов [о, х) + тт сов [о, у) + т, сов [о, х)] с[Я = = ~~~ ( — *+ — "+ — *)с[т. [5.2) 2 Подставляя (5.2) в (5.1), получаем интегральную запись закона в виде га дс„дну дс 1 — рт+ртд]тт — рт о" о" о*[с[в=О. [5.2) Так как (5.3) имеет место для любого объема т, то, следовательно, дс дс„дс ~, рч+ рч Йч ч — рР д д д — О.
(5.4) Выполнив дифференцирование в первом слагаемом, можем переписать (5.4) в виде Ич / ИР ~ дс дну дс р — + ч~ — + рс][ч ч) =рР + — '+ — у+ — '. (5.5) а ~н ) дх ду дг ' Равенства (5.4), (5.5) представляют собой дифференциальную запись закона количества движения в общем случае. Предположим, что движение сплошной среды происходит при отсутствии источников массы, т. е. д = О.
В этом случае уравнение неразрывности имеет вид (2.6) гл. 11. Учитывая это, получим запись закона количества движения в векторной форме: Ич дух дну дтпл р — =рР+ — '+ — У+ — ', А дх ду дг (5.6) (5.6') 55 или в проекциях на оси координат: ~ "вс ! l д~хх двух д~хх ~ И~у 1 Г д~ху д~уу д~лу ~ "л / ~~ха ~~ул ~~ля ~ Слева в уравнениях (5.6') стоит оператор полной производной. Уравнение (5.6) или эквивалентную ему систему уравнений (5.6') обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях.
3 а м е ч а н и е 1. Запись закона количества движения в интегральном виде дается равенством (5.3). При отсутствии источников массы справедливо равенство (2.6) гл. 11, в силу чего закон количества движения (5.3) запишется в виде р — „, дт= рГ дт+ ~„дЯ, или (5.7) т. е. в каждый момент времени сумма всех сил, приложенных к выделенному объему жидкости; включая и силы инерции, равна нулю. 3 а м е ч а н и е 2. Из второго закона Ньютона, записанного Йтч для точки †„, = Р, следует, что скорость образования количества движения равна силе, т. е. сила — источник, из которого образуется количество движения. С указанной выше точки зрения изменение количества движения в объеме жидкости т происходит по двум причинам: за счет объемного выделения импульса, порожденного массовой силой, и за счет потока импульса через границу области.
ГЛАВА 1У ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Для механической системы закон момента количества движения формулировался так: производная по времени от полного момента количества движения некоторой системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. Получим запись этого закона для случая движения сплошной среды. $1.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (1.1) 1.~ =- Мр Ыт. (1.2) 57 Рассмотрим массу сплошной среды М; пусть в данный момент она занимает объем т, ограниченный поверхностью 5. Эта масса обладает количеством движения К и моментом количества движения 1.. Элемент объема дт содержит массу йт = = рот, количество движения которой равно рчЫ.
Момент количества движения этой массы относительно начала координат равен (г ~( рч)Ы. Этот момент связан с поступательным движением и часто называется орбитальным моментом. Для области т =К("~ > .. У большинства жидкостей полный момент количества движения совпадает с орбитальным. Однако так бывает не всегда. Жидкость имеет молекулярное строение, и состояние жидкости связано с движением молекул и их взаимодействием. Столкновения молекул (атомов) между собой приводят к их вращению.
Вращение каждой молекулы можно охарактеризовать вектором внутреннего момента количества движения. В обычных условиях в силу хаотичности движения сумма внутренних моментов количества движения равна нулю. В тех же случаях (например, при наличии магнитных или других сильных полей), когда распределение этих моментов не изотропное, суммарный внутренний момент оказывается отличным от нуля. В связи с этим при рассмотрении макроскопического движения частиц необходимо вводить вектор внутреннего момента.
Полный момент количества движения частицы складывается из орбитального момента г Кэтч, связанного с движением частицы, как целого, и внутреннего момента количества движения, представляющего собой суммарный момент вращений молекул. Обозначим через М внутренний момент количества движения, которым обладает единица массы жидкости М = М(г,1). Масса дт = рот будет обладать моментом Мрдт. Для массы в объеме т получим Полный момент количества движения массы равен 1 орб+ 1 н))> ).-~~~((~ХР )+Рм) (,. (1.3) Изменение полного момента количества движения связано с наличием моментов, порождаемых силовыми полями — полем массовых и поверхностных сил, наличием объемно-распределенных источников внутреннего момента и потока внутреннего момента через поверхность.
Введем необходимые определения и запишем выражения для моментов внешних сил и внутренних моментов. На элемент дт с массой йт действует сила рГдт. Орбитальный момент этой силы (г К рГ)дт. Главный орбитальный момент массовых сил равен Мо = ~ ~ ~ (г Х рГ) Йт. (1.4) На элемент поверхности д5 с нормалью и действует поверхно- стная сила х„Ю. Главный орбитальный момент поверхностных сил (1.5) Пусть за время Ж в объеме дт порождается момент рПдтЖ, где П вЂ” момент, отнесенный к единице массы и единице времени.
Обозначая через Мо" й приращение за то же время внутреннего момента в объеме т, получим для М, выражение М() — — рП дт. (1.6) М~" = ~с„д5. (1.7) Производная по времени от полного момента количества движения Е равна сумме перечисленных четырех моментов. Таким образом, закон момента количества движения запишется в виде — =М + М + М~" + М~", (1.8) Через элемент поверхности д5 с нормалью и в течение времени й проникает момент л,д5Ж. Здесь л, — плотность потока (проникновения) внутреннего момента.
Обозначая через М~" й поток за время й внутреннего момента через поверхность 5, по- лучаем Закон момента количес можно пе еп количества движения реписать в виде (1.9) с учетом (1.14) г Х р —" + р — д« = (г ',( рГ) д«+ + ~~$,п (,+ ~~(гХ г(Ы+ « Преобразуем интегралы п бъе Вмыльз ы ьзуемся ф~~(иудеей К~~~ (гХ«„)д5= г «г «) г «, г «„) соз(п, у)+ + (г Х «,) соз (п, г)] д5 = д — 55 ( —,. ( х")+ —,' ( х >+ — ' г .
—,'„г г„+ — „(гХг~ (.— к„~'" ' '*]„, +~Ц((х .+(х „+(х.,((.. ((.и) По одставим (1.16) в (1.15) и сг 5 о . в . и сгруппируем некоторые сл рые слагаемые: 311 ~ Ж дх ду дл — ~Ц((Хг.+(Хг„+(Хг.((г-Я,п(,= ° ы — рог(г= гг„г(Б. ((.17) Второе слагаемое сл г движ О слева равно н л ж . ьно закон момента колич и орме запишется в количества движения ~р — „(г — ~~~((Хг.+(Хг„+( Х г.( и— — рП Й« = ~с„д5.
(1.18) $2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАП МОМЕНТА КОЛ И ЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим функцию л г 1 . моментов к тетраэд и сокранения оши, получим аналогичную связь между л„я ~п '«с оз у ЛПг ЙХ ЙУ> Йг. 60 „соз(п, х)+~сусоз(п )+ соз „, у ~~, соз(п г). (2, ,1) Из этого равенства следует симметрия тензора напряжений, т. е. тхд тдх1 тгх тхг~ туг тгу (2.4) 2.
Если среда такова, что тензор напряжений у нее симметричен, то закон момента количества движения приобретает вид йМ длх д~у д~л ~2.5) Физически это означает, что в жидкости действуют два независимых закона: закон сохранения орбитального момента и закон сохранения внутреннего момента, причем закон сохранения орбитального момента является следствием закона сохранения количества движения. ГЛАВЛ Ч ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Для записи такого фундаментального физического закона, как закон сохранения энергии, необходимо установить, из каких видов энергии складывается полная энергия жидкого объема, определить виды притоков энергии извне и учесть превращения одного вида энергии в другой.
э 1. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ (1.1) Если каким-то образом выбрана величина Жо и известно ЛЖ (экспериментально или теоретически), то для любого нового состояния величина Ж может быть определена по формуле (1.1). Таким образом, через ЛЖ определяется величина внутренней энергии Ж данной массы жидкости. Естественно ввести величину Š— внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы. В общем случае неоднородной движущейся жидкости Š— функция координат и времени: Е =1пп Е„=!пп —. т-+О ~-+О (1.2) Из определения (1.2) следует, что запас внутренней энергии в массе йт равен дЖ = Ейт = ЕрЫ. Внутренняя энергия конеч- ной массы жидкости в объеме т Ж= рЕ дт. (1.3) Выражение для Е обычно известно из физики. Для совершенного газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, уравнение состояния которого есть уравнение Клапейрона р = рКТ, внутренняя энергия зависит только от температуры. Выра~кение для внутренней энергии имеет вид гт Е= ~ с„йТ, где с, — теплоемкость прн постоянном объеме.
63 Рассмотрим сначала некоторую покоящуюся однородную массу жидкости М в объеме т. Пусть О означает ее исходное состояние, которое, вообще говоря, определяется некоторым набором параметров (например, давлением, температурой и др.). В результате нагрева, сжатия и других воздействий масса жидкости перейдет в новое состояние, определяемое другими значениями параметров. Переход массы жидкости из исходного положения О в другое связан с изменением ЛЖ энергии. Будем считать, что в исходном состоянии масса М имела запас энергии Жо, Тогда можно ввести величину 5 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
