Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 5
Текст из файла (страница 5)
С учетом (8.1) с~р = р' — р = (г' — г,') — (г — г,) = (г' — г) — (г,' — г,). (8.2) Если через чл и чи обозначить скорости точек А и В, то г,' — г, = ч й — перемешение точки А, г' — г = ч й — перемешение точки В за время Ж. Поэтому (8.2) можно записать в виде с~р = (чв — чА) Й. (8.3) Здесь чв = ч (г) = ч (х+ ~, У+ т1, г+ ~), чл — — ч (го) = ч (х, у, г). (8.4) Считая рассматриваемый х объем т малым, разложим Рис. 1. функцию ч (х + $, у + т1, г + ~) в окрестности точки х, у, г в ряд Тейлора. С точностью до величин второго порядка малости получим (8.5) В проекциях на оси координат (8.5') Чтобы выяснить характер относительного изменения положений точек А и В, преобразуем равенства (8.5').
Сделаем это 26 подробно на примере первого равенства (8.5'). Введем в рассмотрение псевдсэвектор-вихрь скорости = И„1+ Р„~+ И,М. (8.7) Обозначим д~х е хх д» > дод е УУ ду (8.8) до, е д» С учетом (8.7) и (8.8) выражение (8.6) для сф и соответственно выражения для с(т1 и с(~ можюо записать в виде а~=[в„,~+.„„ч+ „,~+ —,' (а„~ — а,п)]ж, й~ = [е„,~+ в„„~+ ~„,~+ — (О,~ — ад] ш~, ш1=[В„1+с,„ч+~„1+! (а„ч — а„ю]ш.
Введем в рассмотрение квал,ратичную форму Р = — [е»»$'+ е„дт1'+ е,Д'+- 2е„д~т1 + 2ед,т1~+ 2е,»Я. (8.10) С учетом введенных обозначе ний равенства (8.9) примут вид Щ,=[ — + — (И ~ р),]й ф=1, 2, 3). (8.1!) Формулы (8.11) можно записать в векторном виде Шр=[дгадР + (йХр)]Ш. (8.12) Сопоставляя (8.3) и (8.12), получаем формулу 1 чв = чл+ — ~3 Х р+ угад Р. (8.13) Если занумеровать оси координат, положив ~, = $, ~, = т1, $з — — ~, ед — — е, то (8.10) можно записать в виде Р = — ~ ~ е;ДД~. (8.10') йг~ = аг„+ йр Х р + дг,.
(8.14) Здесь дге — — чеЖ вЂ” поступательное перемещение точки В жилкой частицы; магд = чдЖ вЂ” перемещение полюса; Йр Х р — перемещение точки В при повороте затверлевшей жилкой частицы 1 вокруг оси, прохолящей через полюс, на угол йр = — Й Ж; юг, = ч,Ж вЂ” леформационное перемещение. Такое прелставление перемещения точек жилкой частицы в виле суммы перемещений затверлевшей жилкой частицы и леформации елинственно. Итак, при рассмотрении лвижения точек жилкой частицы оказалось необхолимым ввести понятие скорости леформации ч„являющейся потенциальным вектором: ч,= ~гад Р, гле Р— квалратичная функция (8.10). Проекция вектора ч, сз 0дх=ехх1+ ехдЧ + ехЛ =,Е ь 1е1йь Сз о „=едД+ еддт~ + ед,~= ~ „, е,Дь, сз о — е х1 + е дЧ + е~А~ ~ь 1 езьЬ (8.15) Здесь (8.16) Для абсолютно твердого тела известна формула че — — чА + + а Х р.
Злесь а — вектор мгновенной угловой скорости, с которой тверлое тело вращается относительно мгновенной оси, прохолящей через полюс. В случае лвижения жилкой частицы мы получили более общую формулу (8.13). Слагаемое ргали Р обращается в нуль только тогла, когла все е;~ равны нулю, т. е. когла бесконечно малый объем жнлкости движется как бесконечно малый объем абсолютно твердого тела. Формула (8.13) — запись теоремы, которую иногла называют теоремой Гельмгольца. Скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через по- 1 '1 люс А, с угловой скоростью а= — Й = — го1ч, и скорости деформации ч, = угад Р.
Если обе части равенства (8.13) умножить на Ж, то теорему Гельмгольца о разложении скорости можно записать для пере- мещений Приравнивая коэффициенты, получаем е =~. ~~ е а.а тп ~! 1 ~/ 1 !/ т! о/' (9.5) В этих координатах тензор скоростей деформаций будет е, 0 0 0 е, 0 0 0 е, (9.7) Це;~!! = Оси, в которых тензор ед имеет вид (9.7), называются главными осями тензора скоростей деформаций (это главные оси квадратичной формы Р).
Величины е1, ег, ез, которые входят в 19.7), называют главными скоростями деформаций. Известно, что е1, ег, ез являются корнями кубического уравнения ЕН вЂ” Л Е12 Е1з (9.8) ег! егг Е23 езз — Л Е31 Е32 Корни этого уравнения всегда вещественны. Вещественность корней уравнения (9.8) следует из симметричности матрицы [!е;~~~. Запишем уравнение (9.8) в виде — + У1Л вЂ” У Л+ У =О.
(9.9) Поскольку главные скорости деформации е! — инварианты, инвариантами должны быть и коэффициенты уравнения (9.9). Эти коэффиценты 71, 72, 73 называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций. Наиболее простой вид имеет линейный инварианты!. Это просто свертка тензора еи.' до! доз доз ~1= еп + егг + езз — + + — — йчч. зз — дх! дхз дхз Коэффициенты 72, 73 можно записать в виде Е11 Е12 Е21 Е22 зз 3! егз еп егг егз Езг ЕЗЗ Гз = 11е1~[ 30 Формула (9.5) — формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой. Следовательно, таблица !!еи~~ есть аффинный ортогональный тензор второго ранга — тензор скоростей деформп11ай.
С тензором скоростей деформаций связана квадратичная форма Р, имеющая вид (8.10). Всегда можно ввести такие координаты ~1, ~2, $„в которых квадратичная форма примет вид Ж+ гьг+ Л ° (9.6) $10. смысл КОмпОнент тенЗОРА скОРОстей деФОРмАций Выражения для компонент скорости деформации имеют вид (8.15). Скорость деформации ч будет определена для любой точки (при известных ~, т1, ~) частицы, если задана таблица (8.17). Выясним физический смысл величин е;~ — компонент тензора скоростей деформаций (8.17). Рассмотрим частные случаи.
1. Пусть е, ~ О, все остальные е,~ — — О. В этом случае тен- зор е„х 0 0 0 0 0 0 0 0 (10.1) Формулы (8.15) примут вид ~дх ~хЛ ~ду ~дх (10.2) Таким образом, тензору (10.1) соответствует однородное растяжение (е, ) 0) или сжатие (ех ( 0) объема вдоль оси х (рис. 2). Из (10.2) следует, что Ч Оду в„„= — '" — скорость р астя >кения (сжатия) элементарного объема вдоль оси х, приходящаяся на единицу длины.
Аналогичный смысл имеют е„, и е„. Итак, диагональные элементы тензора скоростей деформаций — относи- А тельные скорости равномерного растяжения элементарного объеРис. 2. ма вдоль координатных осей. 2. Пусть теперь ех„= е„„~ О, все остальные ем = О. Тогда 0 е„д О едх 0 0 0 0 0 (10.3) Соответственно (10.4) ~дх ВхуЧз 31 Отсюда видно, что точки оси т1(~ = 0) испытывают сдвиг в направлении оси ~, пропорциональный расстоянию т1, точки оси ~ — сдвиг в направлении оси т1 (рис. Э). Таким образом, имеет место скашивание прямого угла (в данном случае между осями ~ и т1). Составляющие ~дх ~ду ху имеют смысл скорости скашивания прямого угла.
Аналогичный смысл имеют другие боковые компоненты (8.17). В общем случае, когда тензор Т имеет вид (8.17), деформацию элементарного объема можно представить как суперпознцию деформаций растяжений (сжатий) относительно трех координатных осей и деформаций сдвига. Если тензор скоростей деформаций отнесен к своим главным осям $, т1, ~, то скорость деформации будет иметь проекции о „=еД, о „=е.т1, о~,=еД (10.5) э 11. смысл КОмпОнент ВИХРЯ СКОРОСТИ В ~ 8 мы установили, что скорость любой точки жидкой частицы может быть представлена в виде 1 Ув — УА + 2 ~ Х Р + Уд Рис.
3. где чл — скорость полюса; ч — чисто деформационная скорость; 1 — 0Х р — скорость точки во вращательном движении затвердев- 2 шей жидкой частицы с угловой скоростью — Й. 2 Вектор й = го1 ч = 2а — удвоенная угловая скорость, с которой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, проходящей через полюс. Проекции вихря скорости доу дох й = — — — =20>, дх ду дох до, й = — — — =2а, дх дх доу дох й = — — — =20> .
дх ду Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения 32 Таким образом, самая общая деформация частицы может быть представлена как деформация растяжения относительно трех главных осей деформации. Из 110.5) следует, что если ~ ч, ~ = О, то е~ — — е~ —— еи — — О. Это значит, что отсутствие деформации соответствует нулевому тензору (в главных осях). Но если тензор нулевой в главных осях, то он будет нулевым и во всех Ч других осях, т. е. из ~ о„~ = 0 следует, что еи = О. Очевидно, что в этом случае и все инварианты тензора е равны нулю: (1 = (~ = (з = О. относительно этой оси. Поэтому проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.
$12. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ, ВИХРЕВЫЕ ТРУБКИ Как было установлено, в общем случае объем жидкой частицы при своем движении деформируется и поворачивается, как 1 целое, с угловой скоростью — Й. Чтобы лучше представить себе эту совокупность вращающихся частиц, вводят понятие вихревых линий. Вихревой линией называется лнния в данный момент времени, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря й в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
