Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Прямой подстановкой в уравнение (2.11) можно убедиться в том, что функция ~ ф) = й'~, (Ц) (2.15) явля~т~ся решением уравнения (2.11), если ~1Д) является его решением. Поэтому, имея ~1Д), мы одновременно имеем одно- 278 Подставляя эти равенства в (2.6), получим для У Я) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: ~'~"' — (~")'+ У У' = О. (2.1 1) параметрическое семейство решений уравнения (2.11), зависящее от параметра й и определяемое формулой (2.15). Подберем lг так, чтобы функция ~Д), определенная (2.15), была решением нужной нам задачи (2.11), (2.12).
Уравнение (2.11) выполнено. Из условий (2.13), по которым строилась ~)Д), функция 9 Ц) при любом 1 удовлетворяет первому и второму из условий (2.12). Поэтому нужно выбрать й так, чтобы было выполнено третье из условий (2.12). Записывая его, имеем й29. (оо) = Р или с учетом (2.14) 12С = ~'. Следовательно, (2.16) тдх р' (2.19) Подставляя (2.19) в (2.17), найдем сопротивление пластины зь Р„= 2Ь( — 1 ~ 1 — "=, р ~/мР ьЬ ~,Т, (2.20) ибо ц,= рч. Вычислим теперь коэффициент сопротивления делению с„=, г" 1~г~ 2 С„.
По опре- (2.21) 279 есть решение поставленной задачи. В нем функция 9 ) и констагта С известны. Предположим теперь, что решение (2,16) для полубесконечной пластины можно использовать для приближенного вычисления сопротивления Я„ пластины конечной длины 1 и ширины Ь (рис. 58).
Очевидно, Л,=2 ~ Шг~ т„„~ Шх=2Ь~ т„„~ Шх. (2.17) Коэффициент 2 в (2.17) введен из-за того, что учитываем две стороны пластины. Имеем Г до„дод ~ до„1 =р + =р (2.18) "" д-о ~ ду дх ) д-о ду 1д-о С учетом (2.16) и (2.13) получим (2.22) Ю где — = Йе — число Рейнольдса. 1 ~з~, показывают, что 4 ~/2 ~ — ) = 1,328. Таким об- Расчеты разом, 1,328 (2.23) При больших числах Яе коэффициент сопротивления пластинки обратно пропорционален ~/Яе. Формула (2.23) хорошо подтверждается экспериментом для чисел Рейнольдса Яе ( 3 10'. При больших значениях Ке данные эксперимента сильно отличаются от значений, даваемых формулой (2.23). Граница 3.10' условна, ее можно увеличить, если очень хорошо полировать пластину.
Эксперименты показывают, что на некотором расстоянии от передней кромки ламинарный пограничный слой начинает переходить в турбулентный. Этот переход и приводит к нарушению картины, предписываемой формулой (2.23). Вычислим теперь толщину пограничного слоя, положив в (1.21) величину е = 0,005. Имея для о формулу (2.16), можем написать — = 0,995 Р. Из последнего уравнения получаем Ь (х) = 5,6 (2.24) Формула (2.24) также дает возможность понять, почему формула (2.16) неверна при больших Ке (или 1). Толщина пограничного слоя растет с ростом х, и при очень больших х нарушаются предположения теории пограничного слоя.
Формула (2.24) хорошо согласуется с экспериментом в ламинарной области. 3 а м е ч а н и е. Часто используют местное число Ке(х), ко- 1'х торое можно определить равенством Ке(х) = —. Тогда о (х) 56 х ~/Ке (х) Подставляя в (2.21) вместо Р„его выражение (2.20) и учитывая, что в нашем случае 5=Ы, получим ГЛАВА ХХ11 ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕИНОЛЬДСА ф 1. УРАВНЕНИЯ СТОКСА Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из обшей системы уравнений Навье — Стокса ~Ж 1 — = — — ргали р+ ч Ьч, р йчч=О. (1.1) Будем рассматривать внешнюю задачу.
Пусть характерный размер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности ч~ = 7. Введем безразмерные независимые переменные и безразмерные искомые функции г а' (1.2) а а= — ч Ъ После перехода к новым независимым переменным и новым искомым функциям получим ди ди ди ди — + и — + и — + и — = — ргали П+ Ьа дт х д~ У д11 х д Э дих ди~ дих дг + д, +д~ — — О. (1.3) 281 В предыдуших главах было выяснено, что для установившегося течения вязкой жидкости сушественно значение числа Рейнольдса, причем при отсутствии массовых сил (д = 0) число Ке является единственным параметром, характеризуюшим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в обшем случае развивают приближенные методы, соответствуюшие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса.
Такие приближенные методы развиты в предположении, что Ке » 1 и Йе << 1. Ранее исследовался случай больших чисел Ке. В данной главе мы будем рассматривать течения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса Ке << 1. Это означает, что к рассматриваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях. или ! и„1 « 1, ! и„! « 1, ~ и,! << 1. (1.4) Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты и„, и„, и, меняются на величины порядка их самих па расстояниях порядка единицы (характерного размера), то в этих течениях наряду с (1.4) имеем ды~ — « 1.
д~ (1.5) Из (1.4) и (1.5) следует, что произведения аида ди„ и— ' д~ являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (1.3) величинами второго порядка малости по сравнению с величинами первого порядка малости, получим уравнения ди д'и д'и д'и — = — ргали П+ — + — + дт д~' д~1' д~' ' ди„диу ди, д~ + д~1 + д~ (1.6) Уравнения (1.6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Ке, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (1.6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему дч 1 / д'ч д'~ д'ч ~ д~ р — = — — ргали р+ ч~ — + + — ) ~ дх' ду' д~' ) ' д~х дгу дг, дх + ду + дг (1.7) Уравнения (1.7) — уравнения Стокса для движения вязкой жидкости при малых числах Ке.
Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся движений они имеют вид 1 д'ч д'ч Яч ~ и~д„+ ду + — д..)=а 1р до,„доц дг, дх + ду + дг (1.8) 282 При этом искомая функция и удовлетворяет на бесконечности условию и = Ке. Модуль искомой величины и=~и ~ — по существу является местным (вычисленным в данном месте) числом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что Системы (1.7) и (1.8) отличаются от исходных уравнений (1.1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще.
Благодаря этому онн решены во многих частных случаях. 5 2. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕИНОЛЬДСА Пусть сфера г = а обтекается установившимся потоком, скорость которого Ч на бесконечности направлена параллельно оси х. Чтобы решить задачу об обтекании сферы при малых числах Ке, нужно найти решение системы (1.8), удовлетворяющее граничным условиям: на сфере х' + у'+ г' = а' (г = а): ч ~,, = О, или о„1,,=0, о„~,,=О, о,1,,=0, (2.1) на бесконечности: ~х! = Ъ ~ы) =0 ~ ~ =О р~ =р (22) Вообще говоря, решение можно получить разнымн способами. Наиболее естественным является следующий ход решения задачи. Вводят сферические координаты г, О, г, и записывают систему уравнений и граничные условия для о„оа, о„и р. Из условий симметрии следует, что ,=0,,=,1г, О),,=,(г, О), р= рог, О).
Решение задачи отыскивают в виде 3 а 1 аз 3 $'ах' Г а'1 1 —— 4 г 4 г' 4 г' ~ г~ ~ ' о,=Р(1 (2.4) 3 Уах 2Р г' где г= Можно доказать, что функции (2.4)— единственное решение задачи. 283 о, = ~ (г) соз О, о„= д (г) з1'п О, р = р,й (г) сов О. (2.3) Подставляя (2.3) в (1.8), получают для неизвестных функций 1" (г), д(г), Ь(г) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрируя эту систему уравнений и учитывая граничные условия, находят функции 1(г), д(г), Ь(г), а следовательно, и решение (2.3). Это решение (мы его выпишем для о„оы, о,) будет иметь вид вать нестационарную задачу обтекания цилиндра потоком жидкости, который в начальный момент на бесконечности параллелен, и изучить поведение поля скоростей при 1, стремящемся к бесконечности.
Рассматривая эту задачу для кругового цилиндра, Б. Русанов установил, что для любой точки А в потоке, как угодно удаленной от цилиндра, скорость жидкости при 1 — ~. оо сопя! стремится к нулю как, ' . Следовательно, цилиндр останав!п ! ливает жидкость, находящуюся первоначально в движении. Это эквивалентно тому, что если цилиндр движется поступательно со скоростью Р(~) и 1ип Р(~) = Ро — — сопэ1 ~ О, то в системе координат, связанной с цилиндром, скорость жидкости в любой заданной точке будет при 1 -э оо стремиться к Ро, т.
е. цилиндр увлекает за собой жидкость. Аналогичный результат верен для движущейся плоскости, как это было показано в ~ 2 главы Х1Х, но будет неверен в трехмерном пространстве для тела конечных размеров. э 4. УРАВНЕНИЯ ОЗИНА Наша задача — получить решение, справедливое и на больших расстояниях от тела. Будем исходить из системы уравнений Навье — Стокса дч дч дч дч 1 — + о — + о — + о — = — — огай р+ мЛ~, д! "дх "ду ~дг р (4.1) до„доу до~ дх ду дг + — + — =О и следующих условий на бесконечности: о„1 =Р, о! =о1 =О. Представим о„, о„, о, в следующем виде: (4.2) и будем считать в точках, далеких от сферы о„', о', о'„малыми вместе со своими производными по сравнению со скоростью К Подставим (4.2) в (4.1) и, пренебрегая членами второго порядка малости, получим дч' дч' ! — + Р— = — — ргали р+ м Лч', д! дх р (4.3) дух дою до~ дх ду дг х + У ~ 2 О Уравнения (4.3) — уравнения для течений вязкой жидкости при малых числах Ке (для медленных движений) — Озин предло- 286 жил использовать вместо уравнений Стокса.
Эти уравнения, так же как и уравнения Стокса, линейны. В точках, удаленных от сферы, отброшенные члены не превосходят оставленных. Вблизи сферы уравнения Стокса (1.7) и уравнения (4.3) имеют одну и ту же точность. С помощью этих уравнений решались задачи об обтекании сферы, эллипсоида и круглого цилиндра. Формула для силы сопротивления сферы подтверждается экспериментом при Ке < 1. В задаче об обтекании цилиндра не возникает парадокса Стокса. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Ко ч и н Н.
Е., К и б ель И. Я., Р оз е Н. В. Теоретическая гидромехачика. М., 1963, Т. 1, 584 с.; т. !1, 728 с. 2. Л ой ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1973. 847 с. 3. М и л н - Т о м с о н Л. М. Теоретическая гидродинамика. М., 1964. 655 с. 4. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., 1976, т. 1 — 536 с.; т.
!!— 576 с. 5. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966. 418 с. ПРЕДМЕТНЫг1 УКАЗАТЕЛЬ Адиабата 109 — Пуассона 11О Бернулли интеграл см. Интеграл Бер- нулли Вектор 18 — сил 105 — момента 105 — потока тепла 68 Вихревая линия см. Линия вихревая Вихреисточник 140 Вихрь 139 — присоединенный 236 — свободный 236 Движение (я) (гечение (я) ) адиабатическое 108 — безвихревое 119 — ламинарное 257 — неустановившееся 14 — плоское 42, 130 — подобные 265 — потенциальное 119 — турбулентное 257 — установившееся 13, 41, 130 Диада 20 Диполь 138, 189 Дирихле задача см. Задача Дприхле 289 Градиент функции ~р 23 Жидкость бароклинная 98, 104 — баротропная 98 — вязкая 71 — идеальная 70, 108 — несжимаемая 42, 79, 121, 130 — сжимаемая 79, 122 Жуковского профиль см.
Профиль Жуковского — силы см. Сила Жуковского Задача Дирихле 133, 172 — Коши 15, 16, 17, 278 — Неймана 131, 172 Интеграл Бернулли 112 — Лагранжа 120 — Эйлера — Бернулли 121 Источник (сток) 136, 187 Коши задача см. Задача Коши Коэффициент вязкости 72 — — динамический 76 — — кинематический 76 — Ламе 45 — подъемной силы 156, 160 — сопротивления 156, 279 Критическая скорость см. Скорость критическая Крыло конечного размаха 233 — тонкое 174 Лагранжа иптсграл см.
Интеграл Лагранжа Ламе коэффициент см. Коэффициент Ламе Лапласа уравнение см. Уравнение Лапласа Лииия вихревая 33 — тока 15 Скорость 7 — комплескпая — критическая 113 — объемного расширения жидкости (дивергенция) 34 Слой пограничный 271 Стокса уравнение см. Уравнение Стокса Маха число см. Число Маха Момент диполя 138, 190 — главный 105 — количества движения 57, 60 — — — орбитальный 57 — — — полный 57 Навье — Стокса уравнение см. Уравнение Навье — Стокса Неймана задача см. Задача Неймана Поверхность тока 16 Пограничный слой см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
