Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким образом, область потока, обтекающего тело, можно разделить на две — область пограничного слоя (1) и область вне его (П) (рис. 56). В пограничном слое рассматривают движение вязкой жидкости в предположении, что отношение 6/1 (( 1 (1 — характерный размер). Последнее соотношение позволяет значительно упростить уравнения движения вязкой жидкости. В области П, вне пограничного слоя, принимают, что течение совпадает с потенциальным течением идеальной жидкости. Потенциальные течения хорошо изучены. Для какой же области решать задачу о течении идеальной жидкости? Строго говоря, следовало бы решать задачу об обтекании идеальной жидкостью тела с учетом влияния толщины пограничного слоя, но вследствие малой толщины этого слоя решают задачу об 271 ф 1.
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Будем считать, что Ке » 1. Упростим уравнения движения вязкой жидкости применительно к пограничному слою, пользуясь тем, что 6/1 « 1. Течение жидкости предполагаем ламин а рным. Рассмотрим задачу об обтекании некоторого контура плоским потоком вязкой жидкости. Положение точки в пограничном слое можно определить, задавая длину х дуги, отсчитываемую от точки разветвления потока, и расстояние у по нормали от контура.
Так как толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с радиусом кривизны, то, пренебрегая кривизной контура, можно в пределах слоя рассматривать х и у как прямоугольные декартовы координаты. Если внешних сил нет, то движение жидкости описывается системой уравнений — +о +о = — — — +~Ли дох дох дох ! др д1 " дх У ду р дх х! (1. 1) доу доу доу ! др — +о„— +о "= — — — +~Ли; д1 х дх У ду р ду у) (1.2) до„ доу — + — =О.
дх ду (1.3) Будем рассматривать течение внутри слоя О ( у ( 6(х), где 6(х) — толщина пограничного слоя. Займемся оценкой членов, входящих в уравнения (1.1) — (1.3), предполагая, что — « 1. 6 1 (1.4) Составляющая о„на внешней границе пограничного слоя имеет порядок Р, где Р— скорость на бесконечности. Предположим, что это справедливо во всем пограничном слое, т.
е. о„= О (Р). (1.5) При изменении х от нуля до 1 скорость меняется на величину порядка Р, поэтому (1.6) 272 обтекании тела идеальной жидкостью и полученное распределение скорости и = и на теле принимают за распределение касательной составляющей скорости на границе пограничного слоя.
Схему описания пограничного слоя предложил в 1904 г. Прандтль. При изменении у от О до 6 скорость о, меняется от нуля (на стенке) до величины порядка Р, поэтому (1.7) д2их д2их В силу предположения (1.4) —, ~ —,, поэтому уравнение (1.1) приобретает вид х+ х + х дих дих дих 1 др д'их д~ х дх " ду р дх ду2 (1.8) Оценим порядок членов в левой части уравнения (1.8).
В силу (1.5), (1.6) имеем о„— — 0 Следовательно, Если дополнительно предположить, что рассматриваются только дих такие нестационарные течения, для которых — имеет тот же г У'~ ~1их порядок 0 ~ — ) или меньше, то левая часть уравнения — „ г1г2 ~ имеет порядок 0 ~ — ) . ~~) Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инерции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это предположение, получим, что 2 =0 или, учитывая (1.7), 0 у~ =0 Отсюда следует, что — =0 —, — =0 (1.9) Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорцио- нальна ~/Бе (так называемый первый результат теории погра- ничного слоя).
Чем больше число Ке, тем тоньше пограничный слой. 273 Порядок величины о„можно оценить, используя уравнение неразрывности 1 др Для оценки члена — — используем следующие сообрар дх жения. На внешней границе пограничного слоя при установившемся течении справедлив интеграл Бернулли — + — = сопз1. 0 р 2 р Отсюда (1.10) Из (1.11), (1.12) и уравнения (1.2) следует, что Из сравнения (1.13) с (1.10) следует, что в пограничном слое (1.
13) Таким образом, давление по оси у меняется существенно медленнее, чем по оси х, поэтому уравнение (1.2) можно заменить уравнением д' — — О, Р=Р(х, ~). (1. 14) Давление поперек пограничного слоя не меняется. Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравнение неразрывности. Оно остается без изменений. Уравнения (1.8), (1.3), (1.14) образуют систему уравнений пограничного слоя дос дух д~х 1 др д2~)х +0 +0 — = — — — +У д~ х дх У ду р дх ду2 ю (1. 15) Р =О, ду 274 Этот результат мы имеем и из уравнения (1.8). Рассмотрим теперь уравнение (1.2). Имеем — ',*,"," =о( —;, — ',), ",„"," =о( — „). д'~~ Очевидно, в Ло„слагаемое —, можно отбросить по сравнению д2, с —,. Воспользовавшись оценкой (1.9), получим ~д,=О ~~~ — — О ~ ~ — =О ~ — .
(112) Последнее из уравнений (1.15) означает, что давление через пограничный слой по нормали передается без изменения. Так как вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, давление может быть взято из решения уравнений идеальной жидкости. Но так как пограничный слой тонок, то можно считать, что во всем пограничном слое зависимость давления р от х и 1 такая же, как в идеальной жидкости. Тогда два первых уравнения (1.15) можно рассматривать как систему уравнений пограничного слоя для функций о, и о„, в которых — — известная др функция, найденная из решения задачи обтекания тела потоком идеальной жидкости.
Если течение установившееся, то вне пограничного слоя (идеальная жидкость) справедлив интеграл Бернулли — + — = сопМ, и — + — — = О. и2 р ди 1 др 2 р ' дх р дх (1.16) Если и = У вЂ” скорость на внешней границе пограничного слоя, то в силу того, что — не изменяется поперек пограничного слоя др дх (не зависит от у), уравнения. пограничного слоя с учетом (1.16) можно записать в следующем виде: дох дох д0 д'ох о — "+о "=У вЂ” +~ дх ~ ду дх ду' дох дну — + =О.
дх ду (1 17) (1.18) о„1„о — — О; 2) на внешней границе пограничного слоя о„= (1 — е) 0 (х), (1.19) где е — заданная малая величина. Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя (6(х) неизвестна) соотношение (1.19) не является граничным условием, так как в нем о„= о,(х, 6(х)), где 6(х) неизвестна. Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Вопервых, решения системы (1.17) можно найти только при заданном значении о, при х = О. Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при у — оо исходя из 275 1 др Г ди~ Так как, в частности, при у = Π— — = — ~и — ), то за р дх ~ дх )д=о' функцию У может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при у = О.
При этом У = У„и зависит только от х. Искомые функции о„, о„нужно находить как решение уравнений (1.17) при следующих граничных условиях: 1) на теле при О ( х ( 1 (условия прилипания) Условие на внешней границе пограничного слоя (при у = о(х)) можно заменить условием при у = оо, х ) О и при х О, д ) О. Поэтому будем интегрировать уравнения (2.2) при условиях 01 =О 01 =О х 'у-о, х)0 ' У 'у-о, х)0 0» ~х-о, у)0 0 1~ ~, >0 У' (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) Таким образом, уравнение (2.6) нужно решать при следую- щих граничных условиях: 0 ! =Π— =О д'0х У О, х)0 ' дул т у О,х)0 х ~х-О.
у>О 0„! = $У. (2.8) Прандтль заметил, что решение уравнения (2.6) можно искать в виде (2.9) Если положим 1 у ~/2~~ ~» (2.10) Из первого уравнения (2.2) имеем д'0х дд0» у2» д» у д0» ду Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.2), получаем д'О» д0» д0»+ д ду' " д» д» ду д0х ду Вместо системы уравнений (2.2) можно интегрировать уравнение в частных производных третьего порядка (2.6). Сформулируем граничные условия для уравнения (2.6). Эти условия должны содержать лишь функцию 0».
Из равенства (2.5) следует, что для выполнения условия 0„= О при у = О, я ) 0 должен обращаться в нуль числитель в (2.5) (предполад0х гаем, что — ФО . Но так как при у= О, х) О и 0 = О, то это означает, что и условимся обозначать штрихом дифференцирование по К то " =~'(5) — — ух чтобы о, в виде (2.9) было решением уравнения ловиях (2.8), нужно найти решение обыкновенного дифференциального уравнения 12.11), удовлетворяющее условиям ~(0)=0, ~" (0) =-О, ~(оо)= Р. (2.12) Уравнение (2.11) не интегрируется в квадратурах, а применение численных методов более просто, когда условия поставлены на одном конце интервала. Рис.
58. Имея в виду решение задачи (2.11), (2.12), решим сначала вспозадачу. Именно найдем сначала функцию ~1Д), решением уравнения (2.11) и удовлетворяющую Для того (2.6) при ус мога тельную являющуюся условиям ~1(0) = О, ~1 (0) = 1, Х1 (0) = О. (2.13) Задача (2.11), (2.13) есть задача Коши для уравнения (2.11) при начальных данных (2.13).
Задачу Коши сравнительно легко решать численными методами. Можно показать, что решение задачи (2.11), (2.13) — ограниченная функция, имеющая конечный предел на бесконечности. Функция ~1 Д) фактически была построена. Считаем, что ~1(,") нам известна и, в частности, известна постоянная С такая, что т,( )=с. (2. 14) Имея ~1Д), построим функцию ~Д). Пусть й — некоторая постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
