Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Безразмерную величину Ке = — называют числом Рей- 02 нольдса, безразмерную величину Гг = — называют число(( Д() Фруда. Таким образом, два установившихся течения около геометрически подобных тел будут подобны, если выполнены следующие четыре условия: 1) ч(1)))ч(2), 3) Ке(1) = Ке(2), 2) д1~~д2, 4) Гг(1) =Рг(2) (3.12) 266 Равенства (3.7) и (3.8) и являются условиями, достаточными для подобия течений. Как видно, они носят векторный характер. Из этого следует, что для выполнения (3.7) необходимо, чтобы векторы д1 и д2 были параллельны: д1((д2, для выполнения (3.8) — чтобы были параллельны скорости на бесконечности: ч("~~ч(2). Если считать, что эти условия параллельности выполнены, то из (3.7) и (3.8) получаем где числа Ке и Гг вычисляются по скоростям на бесконечности. Обычно условия 1) и 2) подразумеваются выполненными, и тогда условия подобия записываются в виде Ке(п = Ке"', Гг((~ = Гг(2). (3.13) Заметим, что число Ке содержит коэффициент ~.
Этот параметр подобия характерен для вязкой жидкости. В идеальной жидкости ~ = О и Ке = оо. Подобие же по числу Фруда имеет смысл как для вязкой, так и для идеальной жидкости. Рассмотрим теперь следующий вопрос. Пусть произведен опыт с моделью в аэродинамической трубе. Когда можно использовать данные этого эксперимента для реальных обтеканий? Предположим, что условия 1), 2) выполнены и д — поле силы тяжести. Пусть индексом 1 отмечаются величины, связанные с экспериментом в трубе. Тогда для подобия течений нужно выполнение равенств (3.14) 1'! ~!2 !!!Д! !!202 Если оба эксперимента проводятся в условиях Земли, то д! = = д~ —— д, если среда одна и та же (например, воздух), то, кроме того, ~! — — ~~. Тогда условия 13.14) перепишутся следующим образом: ( 2)' ( 2)' а! ат л= — (д,х+ дну+ д,г)+ —.
267 Обычно размер модели а! меньше размеров реального тела. Поэтому для выполнения первого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство о((~ ) о~'~, а для выполнения второго условия необходимо выполнение неравенства о((~ < о('~. Таким образом, подобие по числам Ке и Гг приводит к противоречивым условиям. Один из возможных выходов из этой трудности связан с проведением экспериментов при высоких давлениях. Тогда за счет изменения плотности ~ — ( = м! < м, в принципе можно доГр1 Р биться подобия по Ке при о((! < о('~. Однако дело в том, что числа Ке и Гг не во всех условиях одинаково существенны. При исследовании волновых процессов (в частности, качки корабля), когда существенно влияние силы тяжести, моделируют по числу Фруда.
При исследовании силы сопротивления, наоборот, существенно влияние вязкости — моделируют по числу Рейнольдса. Можно в уравнения (2.1) ввести вместо функции Р функ- Р цию л: перепада давлений ~ — ~> О . Безнапорное движение жидкости ГДр ~Дх < Др — = О возможно если хотя бы одна из стенок перемеДх щается. э 5. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ (5.1) и граничному условию на контуре о„1д, — — О. — + — =1 а' Ь-' (5.2) Будем искать о„в виде о„=А(1 ", «,). (5.3) При постоянном А функция (5.3) удовлетворяет условию прилипания (5.2). Следовательно, достаточно подобрать постоянную А так, чтобы выполнялось равенство (5.1). Вычисляя производные функции (5.3) и подставляя их значения в уравнение (5.1), получим г ! ! 1 ! Др агЬг Др — 2А~ —,+ —,) = — —, А— ~, а' Ь') 2р аг+ Ьг Дх ' Следовательно, ! Др агЬг ~г 0 2!х Дх аг+ Ьг ~ а' Ьг (1 При а = *о = г из (5.4) получим формулу (4.6) для круглой трубы.
Соотношение (5.4) подтверждается экспериментом для ламинарных течений. 3 а м е ч а н и е. Пусть имеется неподвижная цилиндрическая труба с контуром 1 в поперечном сечении. Задача о течении жидкости в такой трубе сводится к интегрированию уравнения (1.13) с условием о~~ — — О. Такую задачу можно вообще ре-. шать для сечения любого вида. (5.4) 5 6. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя бесконечно длинными соосными круговыми цилиндрами радиусов Я1 и Яг при отсутствии массовых сил. Направим ось х вдоль оси цилиндров, Предположим, что внутренний цилиндр вра- 258 Рассмотрим установившееся течение в бесконечно длинной неподвижной трубе с осью, направленной по оси х, сечением ~г ~2 — + —,(1.
Скорость о должна удовлетворять уравнению ~гих ~гох ! др Д„г + Д,г — „Дх шается с угловой скоростью о~, а внешний — со скоростью ав. Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты г, О, х и записать в этих координатах систему уравнений вязкой Ы жидкости. Для этого надо найти выражения йч ч,— „, ргали р, Лч в этой системе координат. Естественно преДполагать, что скорость направлена по касательной к окружности г = сопй и зависит так же, как и давление, только от г, т.
е. и, = и, = О, ив= п(г), р = р(г). Полученная система уравнений применительно к рассматриваемой задаче, когда движение установившееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить решение задачи в виде о (г) 0в = С1г + — > Р = Р~ + ) Г у~ Г М,= ~ г(>,>> ШВ) — >' ~ >,>ШВ. Рис. 55. Здесь т,в — проекция на ось О (т. е. на направление ч) напря- жения, действующего на площадку с нормалью г. При наших предположениях оно зависит только от г, поэтому Мг = тгв2лг'. Таким образом, закон сохранения момента дает равенство т,в2лг~ + М, = О. Пусть угол О отсчитывается от оси у. Очевидно, что тгв !в=о = ту~ !~=о (6.1) 259 Постоянные С1 и Св определяются из граничных условий.
Однако для решения рассматриваемой задачи мы используем другой путь. Чтобы найти зависимости и = п(г), запишем закон сохранения момента количества движения в слое Р1 ~~у + г~~~г~, г ( Яр (рис. 55). Пусть М вЂ” момент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси х. В силу стационарности движения имеем равенство М = О. Очевидно, что М = М~ + М„где М1 — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, М, — момент сил вязкого трения, приложенных к цилиндру радиуса г. Величина этого вектора Вектор С называют вектором аэродинамических коэффициентов. Соответственно вводят аэродинамические коэффициенты С, С„, С,: Р» Ру Рг С„=, С„=, С,= 2 я 2д 2д Если считать, что направление невозмущенного потока остается неизменным по отношению к направлению вектора массовых сил (т. е.
а1 и р1 постоянны) и ориентация тела по отношению к потоку фиксирована (т. е. постоянны я н р), то для тела данной формы вектор С, а следовательно, и аэродинамические коэффициенты фф, С, при любых скоростях и различ ных размерах тел зависят только от безразмерных параметров КеиГг,т.е. С = С (Ке, Гг). Если влиянием силы тяжести можно пренебречь, то коэффициенты фф, С, для данного тела будут функциями только числа Рейнольдса: С = С(йе). Обычно принято вертикальную плоскость принимать за плоскость (х,у), считая направления скорости ч и оси х совпадающими.
Тогда фф— соответственно коэффициенты сопротивления н подъемной силы, С,— коэффициент боковой силы. ГЛАВА ХХ1 ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА Течениям идеальной жидкости отвечает число Ке = оо. Если числа Рейнольдса велики (Ке » 1), то можно ожидать, что течения вязкой жидкости близки к течениям идеальной. Это тем более вероятно, что решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости является точным решением уравнений вязкой жидкости. Однако, как было показано ранее, потенциальные решения не обеспечивают выполнения граничных условий на поверхности обтекаемого тела. Поэтому, если рассматривать обтекание некоторого тела, то следует ожидать, что течения вязкой жидкости при больших числах Ке будут близки к течениям идеальной жидкости всюду, за исключением тонкого слоя Рис.
56. около границы. В этом тонком слое влияние вязкости существенно сказывается на распределении скорости. Гипотезу о сушествовании такого тонкого переходного слоя подтверждают и эксперименты. Этот тонкий слой принято называть пограничным. Возникает вопрос, как определить его толщину? Конечно, толщина пограничного слоя — понятие очень условное. Практически толщиной пограничного слоя о(х) называют такое расстояние от поверхности тела, на котором касательные составляющие скорости вязкого и идеального течений жидкости отличаются на пренебрежимо малую величину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
