Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Причина несуществования стационарного решения (парадокс Стокса) может быть в какой-то мере выяснена, если рассматри- п|ается с угловой скоростью оп, а внешний — со скоростью ом. Длл решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты г, О, х и записать в этих координатах систему уравнений вязкой ~ч жидкости. Длл этого надо найти выражения д1ч ч,— „,, гад р, Лч в этой системе координат.
Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности г = сопз1 и зависит так ~ке, как и давление, только от г, т. е. и, = и, = О, пв = п(г), р = р(г). Полученная система уравнений применительно к рассматриваемой задаче, когда движение установившееся, принимает простой впд п позволяет сразу получить решение задачи в виде С, Г' о(г) по= С,г+ — ', р = р, + ~ — Йг.
М, = ~ г (т,~г ШЯ) = г~ ~ т,~ ШЯ. Рис. 55. Здесь т,в — проекция иа ось О (т. е. на направление ч) напря>кепил, действующего на площадку с нормалью г. При наших предположениях оно зависит только от г, поэтому М, = г,в2лг-". Таким образом, закон сохранения момента дает равенство ггв2лг'+ М, = О. Пусть угол О отсчитывается от оси О.
Очевидно, что 'гге ~е=о = 'гу~ !~=о (6.1) 259 Постоянные С~ и С, определяются из граничных условий. Однако для решения рассматриваемой задачи мы используем другой путь. Чтобы найти зависимости и = п(г), запишем закон сохранения момента количества движения в слое Я1(у'+ г-'(г', г ( Р, (рпс. 55).
Пусть М вЂ” момент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси х. В силу стационарности движения имеем равенство М = О. Очевидно, что М = М~ + М„где М~ — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, М, — момент сил вязкого трения, приложенных к цилиндру радиуса г. Величина этого вектора Отметим частные случаи течения. а) Оба цилиндра вращаются с одинаковой угловой скоростью: о~ = о~ — — о.
Для этого случая из (6.10) получаем Вязкая жидкость вращается как твердое тело с той же угловой скоростью. б) Жидкость заполняет безграничное пространство вне цилиндра й~.. й~ = й, о1 = о, й~ = оо, о~ = О. В этом случае 2 И о=Я~ Г в) Один из цилиндров неподвижен, например о1 = О, о2 — — о. Тогда р2 ~ 2 у~2 о — 2 2ИГ ~2 ~! %~ ~! $7. ПРИМЕР ПРОСТЕЙШЕГО УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ Для составляющих тп, имеем равеиство !1 ~и!1 = — Р1 + 2и!1 ~и!! (7.3) При предположениях (7.1) достаточно рассмотреть только одно уравнение — проекцию уравнения движения на ось х, остальные три уравнения системы (7.2) удовлетворяются автоматически.
Уравнение (7.2) в проекции на ось х дает (7.4) Из (7.4) имеем р =С~. Отсюда ~~х ду о.=С,~; +С.. ду 1 Ь) 9 (7.5) ~61 Рассмотрим задачу. Пусть плоскость у = 0 движется вдоль оси х с постоянной скоростью о = оо. Жидкость, заполняющая полупространство у) О, имеет при у-э оо скорость о„= о . Коэффициент вязкости и зависит от у: и = п(у). Массовые силы отсутствуют.
Посмотрим, имеет ли такая задача решение, и если имеет, то при каких условиях? Очевидно, следует принять, что о„= о,(у), о„= о,=0. (7.1) Выпишем систему уравнений движения сплошной среды в виде дч 1 ~ д~х д~д д~л~1 Ж р~дх ду дя(' йчч= О. Постоянные С~ и С2 определяем из граничных условий вх 1д о во> вх!д=оо Из (7.5) и (7.6) получим ду оо — С~, о..=С1 — + С,. ~ иЫ о (7.6) Решение поставленной задачи имеет вид О..— 00 1 ау + ид 3)Ь)+ ' 3~ иЬ) ' (7.7) Чтобы полученное решение имело смысл, надо, чтобы интеграл 5 в был ограниченной величиной. Если ~ — ( оо, то ду Г" ау о И(у) ) Ь) в полупространстве жидкость движется с распределением скоростей (7.7).
Если интеграл расходится, то формула (7.7) дает для всех у: о = оо — поставленная задача не имеет решения (например решения не будет, если р(у) = Ау+ ро). ГЛАВА ХХ ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В этой главе рассматривается подобие течений вязкой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, в предположении, что коэффициент вязкости р постоянен. Вопрос о подобии имеет значение и при рассмотрении теоретических вопросов, и особенно при экспериментальных исследованиях. В частности, нужно знать те условия, при выполнении которых результаты экспериментальных исследований над моделями можно переносить на реальные объекты.
э 1. СХОДСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ТОЧКИ Сходственными пространственно-временными точками для двух течений около геометрически подобных тел будем называть точки (хк, ук, гк, 1к), для которых безразмерные координаты и безразмерные времена одинаковы, т. е. точки, для которых 5! $2з Ч ! Ч2> 1! 12~ ~! ~2~ или, что то же самое, ~А Мз Д! Д~ — У вЂ” У й! й2 й! й2 г~ г~ 2 2 й! й~ й! й2 В безразмерных координатах рассматриваемые геометрически подобные тела будут иметь характерный размер, равный единице, и оба тела будут геометрически тождественны.
263 Рассмотрим два течения вязкой жидкости с разными коэффициентами вязкости около двух геометрически подобных тел. Пусть ак, а2 — характерные размеры первого и второго тел. Движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости ~! около первого тела будем описывать с помощью переменных хк, ук, гк, 1!. Аналогично движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости ~~ около второго тела будем описывать с помощью пере. менных х~, у2, я~, 12. Так как размерность коэффициента вязко- ~2 й2 сти [~] = —, то величина — имеет размерность времени: Т У с й'1 — ~=Т. Величины а! и а2 определяют естественный линейй2 й2 пый масштаб в первой и второй задачах, величины — ' и — ' У! Ур могут быть приняты соответственно за масштабы времени. Имея это в виду, введем безразмерные координаты и время для каждого течения с помощью соотношений "к ук ~к кк Ьк= ~ Чк = — э Ск= — ~ 'ск= 2 (к=1, 2).
йк йк йк й~/~~ $2. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ Имеем систему уравнений вязкой жидкости дч дч дч дч 1 — + о„— „+ ~„— + о, — = д — — ргали р+ ч Ьч, до„дод до~ д„+ Э+д, — 0 Предположим, что вектор д массовых сил постоянен в пространстве и времени. Обозначим через а характерный размер рассматриваемого течения (например, хорду или размах крыла) и введем вместо х, у, г, 1 безразмерные координаты и время по формулам ц2 х =- а$, у = ап, г = а~, 1 = — с. (2.2) Введем безразмерные функции ч= — я, — = — П, (2.3) Будем теперь рассматривать ц, П, ч как функции безразмерных переменных ~, ~1, ~, т. Заменим в уравнениях (2.1) координаты х, у, г на $, и, ~ и время ~ на т по формулам (2.2). Заменим в этих же уравнениях величины ч, — и д на и, П и у Р „,а по формулам (2.3).
Сокращая на общий множитель —,, из (2.1) получаем систему уравнений ди ди ди ди дЯи — + и — + и — + и — =Ч вЂ” огай'П+ + дт х д$ У д~1 л д~ д~Я д~н д'и + дч'+ д~,, (2.4) ди„дид ди~ д$ дт1 д~ + — + — =О, д д д где огай' = 1 — + 1 — + 1с — . д$ дт1 д~ ' Система (2.4) — система уравнений вязкой жидкости, запи- санная для безразмерных функций в безразмерных независи- мых переменных (безразмерная форма уравнений Навье— Стокса). Систему (2.4) можно записать в виде — =Ч вЂ” ргали' П+ Ьи, Ит ЙЧИ=О, (2.4') сИ Нетрудно проверить, что величины ц, П, ч безразмерны, так как имея в виду, что операторы — „, Ь, йч относятся к перемен- Ф ными,~1,~, т. ф 3.
ПОДОБИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ Два течения вязкой жидкости (первое и второе) будем называть подобными, если значения соответственных гидродинамических величин, вычисленные для сходственных пространственно-временных точек, отличаются лишь некоторыми постоянными множителями. Эти множители могут быть разными для различных гидродинамических величин (один для скорости, другой для давления). Пусть имеем два течения около геометрически подобных тел. Пусть они характеризуются величинами а,, ~„д(, ч(), —, Р( 1 (3.1) а„~,, д~, ч('), =. Рг г Для каждого из этих движений можем выписать безразмерную систему уравнений дц(~) ~„~к) ~„(к) и(к) + и(к) + кк(к) — 7 ~гак1 П + х д$ кк д~ х д~ к к фц(к) диац(к) диац ц) + др + дг)г + д~г > (3.2) ди~~) ди(к) ди(к) ~+ „+,— О.
Решения систем (3.2), если иметь в виду внешние задачи об обтекании тел, должны удовлетворять условиям прилипания на границах 5) обтекаемых тел (5( — поверхность тела с характерным размером, равным единице) и условиям на бесконечности ц(') ~ = О, ц(') („= ц(к). з > (3.3) Так как безразмерные искомые величины ц(') и П; отличаются от размерных искомых величин постоянными множителями, то для подобия движений достаточно, чтобы в сходственных пространственно-временных точках имели место равенства ц(') = ц('), П, = П,.
(3.4) Так как краевая задача об отыскании величин ц(') и Пк ставится для одинаковых областей, для которых характерный размер равен единице, при одинаковых условиях на границе обтекаемых тел ц~ =О, для выполнения (3.4) достаточно, чтобы: 1) уравнения (3,2) для течения 1 (к = 1) и для течения 2 (к = 2) совпадали; 9 Зак. )03) 265 2) условия на бесконечности были одинаковы, т.
е. ц(1) ! и~2) ( (3.5) ибо тогда обе краевые задачи будут тождественны. Для совпадения уравнений необходимо, чтобы (3.6) Р( = Р2 что с учетом (2.3) дает следующее равенство: 3 3 й"г 2 2 (3.7) Условия (3.5), записанные в размерных величинах, приводят к соотношению Ч й( Ч (1) (2) (3.8) 111 () 112 (1) (2) (3.9) Ч2 1 3 3 Д~~) Д~~~~ 2 Ч( ~2 (3.10) Если (3.9) возвести в квадрат и разделить на (3.10), то будем иметь („(1))2 („(2))2 (3.1 1) Кй) К((, Условия (3.9), (3.11) эквивалентны условиям (3.9), (3.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
