Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При любом положительном 1о„(0, 1) = О. П р и м е р 2. Пусть над плоскостью х = 0 находится неподвижная жидкость. При 1 = 0 плоскость внезапно получает скорость оо вдоль оси х. Что будет происходить с жидкостью? Решение этой задачи легко построить из решения (2.6). Действительно, положим з ~ (~ 1)=~о 1 — Ф вЂ”, =~о 1 — -"~" е-~'д~ . (2.1) Из предыдущего ясно, что функция (2.7) — решение уравнения г (2.1) (поскольку оо и Ф1 ~ — решения этого уравнения). ~2 ~/Й 253 мы можем получить решение задачи (2.1), (2.4) по формуле (2.2) или (2.3).
П р и м е р 1. Пусть в начальный момент в жидкости есть тангенциальный разрыв, т. е. при /=0 Кроме того, эта функция удовлетворяет граничным и началь- ным условиям. Действительно, при г) 0 1 — эО, о„(г, ~) — эО, при г=О 1 ) О, о„(0, ~) = оо. Возьмем теперь произвольное положительное г. В момент 1 = 0 скорость в точке с координатой ~ была равна нулю. Затем скорость будет возрастать, Если 1 -~ оо, то Ф ( 1 — э 0 п ~ 2.~/И / о,(г, ~)-~- оо. Это означает, что плоскость постепенно увлекает за собой всю жидкость.
~ 3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ Пусть пространство между двумя параллельными плоскостями у = ~й заполнено вязкой жидкостью. Требуется отыскать все возможные одномерные установившиеся течения. Из физического смысла задачи следует, что течение плоское; примем, что о„не зависит от г: о = о,(у). Уравнение (1.13) для нахождения скорости в этом случае примет вид !~ ~!х 1 ~Р (3.1) с~у' р, ~х ' ~х !у й ~2' ~х 1у=й ~п (3.2) Общее решение уравнения (3.1) имеет вид о„= — — — + С,д+ С2, ЛР У' х р,~х (З.З) где С! и С2 — произвольные постоянные. Определяя С! и С2 на основании граничных условий (3.2), получим для о„формулу В случае, если движение безнапорное, т.
е. — =О, имеем ~Р линейное распределение скоростей (3.5) 254 где Р— Р' Р заданная постоянная. !.!Х Х2 — Х! Решение уравнения (3.1) должно удовлетворять граничным условиям на стенках (условиям прилипания), а именно, если и! и и2 — скорости верхней п нижней стенок, то Остановимся на случае, когда обе стенки неподвижны.
Тогда о, = и2 = О, и решение (3.4) примет впд о = — — — (Й- — у ). ~'Р 2р Ьх (3.6) Выражение в скобках в силу ~у~ ( й неотрпцательно, так что жидкость всегда движется в направлении падения давлеппя. Максимальное значение скорости и достигается прп у = О. Зависимость и„= и,-(у) имеет вид параболы (рис. 53). Рис. 54. Рис. 53. Подсчитаем расход жидкости через сечение между пластинами при толщине слоя вдоль оси г, равной единице: э 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОИ ТРУБЕ Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в круглой трубе радиуса Р (рис, 54).
Труба неподвижна, ось х совпадает с осью трубы. Для определения поля скоростей надо решить уравнение (1.13) при условии, что в любом поперечном сечении на контуре трубы у'+ г' = Р' скорость равна нулю. Естественно ввести цилиндрические координаты. Переходя от координат у, г к координатам г, О, получим у = асов О, г = = гэ|пО, дг дг дг 1 Д 1 Дг Исследуемое течение осеспмметрпчпо, поэтому их зависит лишь от г. Уравнение (1.13) прп этом становится обыкновенным диф- ференциальным уравнением второго порядка, 255 т.
е. расход прямо пропорционален падению давления, кубу рас- стояния между пластинками и обратно пропорционален коэффи- циенту вязкости. Таким образом, задача свелась к решению уравнения уг„1 у„ Х ~ Х Ь-2 г Ь- И Лх (4. 1) при условии п,~, д —— О.
(4.2) Уравнение (4,1) можно переписать в виде (4.3) Интегрируя, получим а'.. 1 ~а г — '= — — — —,+С, Ь р Ьх 2 г о,. = — — — + С, 1и г + С2. и Лх 4 (4.4) Постоянную С~ следует положить равной нулю, так как иначе на осн трубы г = О скорость будет неограниченной величиной, что не имеет физического смысла. Постоянную С2 находим из граничного условия (4.2): рг ~ ~ рг — — — + С,=О, С,= — — — —. р Лх 4 - ' р Ьх 4 (4.5) Таким образом, для поля скоростей вязкой жидкости внутри трубы имеем формулу о„= — — — Я2 — г ).
Р 2 2 4р Лх (4.6) л Ьр Р Я4 (4.7) 8р Лх Таким образом, расход пропорционален падению давления, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. Обычно интересуются падением давления — в зависимости от Я, Я, р. Формула (4.7) используется Ьр Лх также для экспериментального определения коэффициента вязкости.
Полученное решение (как и решение предыдущей задачи в $ 3) не всегда хорошо согласуется с экспериментом. Оказывается, что качественная картина течения существенно зависит от безразмерного параметра Ке, введенного Рейнольдсом. Числом о1 Рейнольдса называют величину Ке= —; где и и ! — харак. 256 Формула (4.6) — формула Пуазейля. Подсчитаем расход жидкости через поперечное сечение трубы: г~г2" Я= ~ ~ п„гИОИг= — 2л — — Р~ ®2 — г2)где= о о 4и Л~ терные для данного течения скорость и размер.
Для течений в трубах за характерную скорость принимают среднюю скорость ~Р -г ср т~рг — 8р Лх ~срР Если Ке= (1000 —: 1100, то имеется хорошее совпадение теории с экспериментом. При Ке =-(1000 —:1100) происходит резкое изменение картины течения. При небольших Ке каждая частица жидкости движется по прямой, движение слоистое, спокойное. Такое течение называется ламинарным.
При Ке ) 10З каждая из частиц жидкости совершает хаотическое движение, течение перестает быть одномерным и стационарным. На среднюю скорость накладываются дополнительные составляющие, зависящие от времени и координат. Такое течение называется турбулентным. Формулы (З.б), (4.б) справедливы только для ламинарных течений. Число Ке, при котором происходит переход течения от ламинарного режима к турбулентному, называется критическим числом Рейнольдса. Цифра 10', которая приводилась выше, относится к обычным технически гладким трубам. Однако на самом деле переход ламинарного режима в турбулентный — явление сложное.
В частности, число Ке„, при специальных условиях может быть сильно увеличено. Рейнольдсом был проведен следующий опыт. Брались специальным образом подготовленные очень гладкие трубы с очень гладким входом. Жидкость подавалась в трубу из специальных баков, в которых она отстаивалась в течение 2 — 3 недель. Тогда критическое число Ке возрастало до 10'. Таким образом, переход к турбулентному режиму существенно зависит от уровня начальных возмущений. Кроме того, существует и нижняя граница Ке,р". Если Ке< Ке„р", то течение всегда ламинарное. Известно также, что задержке перехода к турбулентному ре>киму способствует добавление в жидкость молекул полимеров.
П р и меч а ни е. Решение (4.4), полученное для осесимметричных течений в круглой трубе, содержит две произвольные постоянные. В этом решении равенство нулю постоянной Сг обеспечивало ограниченность скорости внутри трубы. Для случая осесимметричных установившихся течений жидкости внутри кольцевой трубы Р~ (уг+ гг (~ %г решение (4.4) также справедливо, только постоянные С~ и Сг должны быть определены из условий прилипання жидкости к каждой иа стенок трубы Я~ и Яг. В самом общем случае эти условия имеют вид и ~г=д, = п1 и ~~=в = пг где о~ и ог — скорости, с которыми трубы движутся параллельно своей оси (осп х).
Если стенки труб неподвижны (о~ — — пг — — О), то движение жидкости может иметь место только аа счет 257 5 3. ПАРАДОКС СТОКСА Рассмотрим плоскую стационарную задачу. Систему уравнений (1.8) можно тогда записать в виде ~ д2о~ д2о~ ~~ др гд2, д2, ~ д (3.1) до„дну — + =О. дх ду Если использовать эти уравнения для получения решения задачи об обтекании кругового цилиндра, когда граничные условия имеют вид ~~ !г-а О> оу~ =О, о„~ =У, оу1 =О, р~ р, 286 то оказывается, что такая задача вообще решения не имеет, так как невозможно удовлетворить одновременно условиям на теле и на бесконечности.
Единственное решение задачи, удовлетворяющее условиям прилипания на теле, есть тождественный нуль. Такое же утверждение верно для произвольного цилиндра. Это — парадокс Стокса, а именно: если рассматривается обтекание цилиндра произвольной формы потоком вязкой жидкости, то уравнения Стокса для стационарной задачи в плоском случае решения не имеют. Возникает вопрос: справедливы ли те предположения, которые были использованы при переходе от уравнений Навье — Стокса к уравнениям Стокса. Для ответа на этот вопрос проверим, справедливы ли эти предположения в задаче об обтекании шара при том конкретном виде поля скоростей, которое мы имеем в этом случае.
Если по формулам (2.4) вычислить члены, входящие в уравнения Навье — Стокса, и до сравнить выброшенные члены о~ д и оставленные ргали р, рЛч, дх, то окажется, что в некоторой окрестности сферы отброшенные члены действительно малы по сравнению с оставленными. Однако на больших расстояниях от сферы отброшенные члены много больше сохраненных. Следовательно, предположения Стокса заведомо неверны на больших расстояниях от тела. В связи с этим возникают следующие вопросы: не в этом ли состоит причина парадокса Стокса, нельзя ли усовершенствовать уравнения Стокса, сохранив линейность, но обеспечив корректность на больших расстояниях от тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
