Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Свободный вихрь У 2л г — ~' интенсивности НГ, выходящий пз точки ~ осп ~ (полубесконечпый вихрь), индуцирует в точке оси я скорость Подставляя (2.8) в (2.3), получаем (2.9) и затем (2. 10) Удобно в формулах (2.4), (2.9), (2.10) ввестгг новую ггезависимую пере.»генную, положив ~= — !сов О (соответственно ~= = — Рсоа 0'), и представить Г в вггде трпгонометри геского ряда Г(0) =4г( Е ~~, А„згппО (0(~0, 0'(~л). (2.11) Рассмотрим сначала вьграженгге джаги подъемно1г с~гльг. Подставим (2.11) в (2.4): (4п — — рп' (41( ~ А„~ п1ппрп1п040. (2.12) П г" (л/2, т= и, Учитывая, что ~ зги пО зги тО (гО= ~ получим о $,0, т~п, 2 РЦ 4 по 2 (2.1 3) т.
е. подъемная сила определяется только коэффициентом А, в разложении Г в ряд по синусам. Теперь запишем выраженгге для г(;. Подставггм (2.11) в (2.8). Принггмая во внимангге, что — = — ( — „) =4п„(~ пА„сппп0',, (4.14( (1'Г ((Г 1 получим с00 п0 сг0 г(; = — — ~Г пА„ Л ~ О с000 — с000 (2. 15) Так как с00 (10 (10 0(П П0 = й (4 С00 0' — СО0 0 0(1п 0 (2. 16) гигдуктнвггой скорости будем иметь = — г( пА„ (2. 17) то окончательно для Угол скоса потока пргг этом выразится формулой а;= пА„ (2.18) Л 0 ((„= пр — (Р(( ~ пА„. Л (2. 19) 239 Вьгражегггге для сгглы сопротивления полу пгм, ггодставив (2.1!) в (2.5): С = у Ф о р —,5 2 (н С, = 9 о р — 5 2 Здесь 5 — площадь кр ыл а в пл а не. Используя формулы (2.13) и (2.19) для Яу и Я„получаем (21) ~ Су л ~ А~ <~> (21)' с ~ 5 и=! Так как (21)~/5 = Л вЂ” удлинение крыла, то выражения для Су и С„' можно записать в виде Су лЛА Сн'= Л~."=, А'..
(2.21) (2,20) э 3. КРЪ|ЛО С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЦИ Р КУЛЯ ЦИ И Рассмотрим некоторые свойства крыла с минимальным индуктивным сопротивлением при заданной подъемной силе. Как было показано выше, у такого крыла подъемная сила и индуктивное сопротивление определяются формулами 2 2 (21)'А (3.1) 0 2 р 2 (21) А,. (3.2) Учитывая, что А; = О, при всех 1) 2 из (2,11) имеем Г (О) = 4о 1А, э1п О.
(3.3) Исключив э1п 0 из (3.3), с помощью равенства г = — 1соэ 0 получим уравнение для Г(г) („'...)'+ ®'= (3.4) Из этого уравнения видно, что крыло с минимальным индуктивным сопротивлением прп заданной подъемной силе имеет эллип- 240 Из (2.19) видно, что при заданной подъемной силе (последняя определяется только через А~) индуктивное сопротивление будет минимальным, если все А; = О, 1) 2. Определим коэффициент подъемной силы и коэффициент индуктивного сопротивления: тнческое распределение циркуляции по размаху. Уравнение (3.4) можно записать в виде где Г,„=4о„А,1. Из формул (2.17) и (2.18) следует, что у такого крыла ~;= — ~„,А,, и;=А,.
сЯ„= ро„Г (~) сЬ, 0 2 ~1~~ = С„р 2" о (~) дя. Приравнивая правые части, получаем Г(я) =ф—" Ь (я). Поскольку в плоскости (Г, я) мы имеем эллипс, то и Ь(я) имеет вид эллипса, т. е. рассматриваемое крыло с эллиптическим распределением циркуляции имеет эллиптическую форму в плане. Прн небольших углах атаки можно приближенно положить С„= А+ Ва„ где А,  — некоторые характеристики профиля, а, = а — а~. $4. ПЛРЛБОЛЛ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПЕРЕСЧЕТ КРЪ|ЛЛ С ОДНОГО УДЛИНЕНИЯ НА ДРУГОЕ Установим связь между подъемной силой и индуктивным сопротивлением. Используем для этого формулы (2.20) и (2.21). Рассмотрим наиболее выгодные крылья (с минимальным индуктивным сопротивлением).
Для этих крыльев '> С„"'= ЛА . (4.1) 24| Подъемная сила, индуктивное сопротивление, индуктивная скорость и угол скоса потока определяются только коэффициентом А1. Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки а называется геометрически незакручеиным. Крыло с постоянным по размаху эффективным углом атаки а, = а — а; называется аэродинамически незакрученным. В противном случае говорят, что крыло имеет крутку (соответственно геометрическую или аэродинамическую).
Очевидно, что если крыло с эллиптическим распределением циркуляции является геометрически незакрученным, то оно является и аэродинамнчески незакрученным. Посмотрим, какую форму в плане имеет такое крыло. Запишем два выражения, определяющие подъемную силу, действующую на элемент крыла дя: Из формулы (2.20) можно коэффициент А, выразить через С,: с„ А1 — —— лЛ и, подставив его в (4.1), получить связь между коэффициентом индуктивного сопротивления и коэффициентом подъемной сильк 2 С с„ х лЛ, (4.2) В плоскости (С„С,) зависимость (4.2) изображается в виде параболы, называемой параболой индуктивного сопротивления (рис.
52). Индуктивное сопротивление, как уже говорилось выше, связано со скосом потока, возникающим вследствие свободных вихрей, сбегающих с задней кромки. Если 'У скоса потока нет, то индуктивное со- У~. противление равно нулю. В реальной жидкости кроме силы индуктивного г сопротивления на крыло действует еще сила так называемого профильного сопротивления, которое складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. Коэффициентом полного сопротивления называется вес„ личина с„ полн Рл Х С„= 2 — рг 5 Рис. 52. С., (С„) — С~„~ (С„) = С~,~~ = сопМ. (4.3) Величина С„Р~ называется коэффипиентом профильного сопротивления. Тот факт, что при небольших углах атаки коэффициент С~„"~ постоянен, дает возможность получить простые формулы для пересчета крыла с одного удлинения на другое.
Пусть имеется поляра крыла для удлинения Л = Х„, надо построить поляру для крыла с удлинением Л = Ло. Воспользуемся формулой (4.3): ггЛ~ (4.4) 242 где Р„"'л" — сумма профильного и индуктивного сопротивлений. В широком диапазоне условий коэффициенты С, С„можно считать постоянными при заданной форме тела и его положении по отношению к потоку. При различных углах атаки получается кривая С, = С,(С,), называемая поллрой крыла (см.
рис. 52). Прн небольших углах атаки справедливо следующее соотношение: С~~) от удлинения не зависит, поэтому С. =С. — С„Р,)=С. — — '. <р) (А~) и) )А~) у ~Х1 (4.5) Из (4.4) и (4.5) получим с~"=с!"-)- — „" ( —,— —,). (4.6) На двух разных полярах одинаковые значения С„могут быть только при равных эффективных углах атаки а)~' — а)? -) = а)") — а)~ ). с 1 (4.7) с„ то а=— лХ Поскольку для крыла заданной формы а; = А,, Тогда из (4.7) имеем С„11 а)х-) = а)х ) + — ~ — — — ) .
~г (4.8) Формулы (4.6), (4.8) используются для пересчета крыла с одного удлинения иа другое. в 5. ОПРЕДЕЛЕИИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ Г(г) В ТЕОРИИ КРЫЛЛ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА Г = — аЬ (а — ао), (5.1) ас„ где Ь вЂ” хорда крыла; а= — „; а — геометрический угол атаки; ао — угол атаки, при котором подъемная сила равна нулю. Согласно гипотезе плоских сечений эта формула справедлива в каждом сечении крыла, но в ней вместо а должен стоять эффективный угол атаки а,. Таким образом, формулу (5.1) следует записать в виде Г (2) 2 й (2) О (2) 1а~ (2) ао (2)1' (5.2) где а,= а — и;.
До сих пор мы считали Г(я) известной и по ней находили коэффициенты индуктивного сопротивления, подъемной силы и угол скоса потока. Установим уравнение, определяющее Г по заданной форме крыла. Используем формулу, полученную для циркуляции в плоской задаче: Подставляя в (5.2) вместо а; его значение (2.9), получим следующее интегродифференциальное уравнение для нахождения циркуляции Г(2): Г (~) 2 й ® О ® ~с~ ® 4 ~ ~~ — ~ Жо (~) (5.3) 0 Г 1 Г' аГ Это уравнение называется пнтегродифференциальным уравнением Прандтля.
Если использовать представление Г(я) в виде (2.11), то можно, подставляя (2.11) в (5.3), свести это уравнение к системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов А; ~~~, [пр (О) + з1 и 01 А„з1п пО = р (0) а (0) з1 и О, ю-1 где р (О) = 8, а (О) Ь (О). Часть 1Ч. ГИДРОМЕХАНИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ГЛА ВА ХЧ!!! ОБЩИЕ СВОИ СТВА ДВ ИЖЕ НИ И ВЯЗ КОИ ЖИДКОСТИ Ранее была получена общая система уравнений гидромеханики вязкой жидкости и сформулирована постановка задач, позволяющая выделить конкретные движения.
В данной главе будут рассмотрены свойства движений вязкой жидкости, являющиеся общими для разнообразных видов ее движения. я 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Будем предполагать, если не оговорено особо, что коэффициенты вязкости р и теплопроводности й постоянны. В этом случае уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности образуют замкнутую систему уравнений для определения давления р и составляющих вектора скорости о; (1' = 1, 2, 3): — = à — — огай р+ ч Лч, Нч 1 р (1.1) Ц1ЧЧ= О. (1.2) Уравнение энергии для несжимаемой жидкости в предположении, что внутренняя энергия является функциен только температуры Е = сТ, имеет вид ср — „= е+ А КТ+ О.
(1.3) Последнее слагаемое правой части уравнения энергии, как будет показано ниже, характеризует приток тепла, обусловленный работой сил трения. Так как система уравнений (1.1), (1.2) не содержит температуры Т, то, решив ее, можно определить неизвестные функции 245 ч и р, а затем найти температуру Т из уравнения (1.3). Тогда для определения составляющих тензора напряжений и вектора потока тепла имеем следующие уравнения: ~~ тд ~~ = — р1+ 2р~~ вд (~; 1= дгас1 Т, (1.4) (1,5) где Для отыскания решений системы (1.1) — (1,3) должны быть заданы граничные условия. Характер этих условий в различных задачах был подробно рассмотрен в главе Ч11. В частности, при решении задачи об обтекании неподвижного тела с поверхностью 5 безграничным установившимся потоком вязкой жидкости ищутся решения системы (1.1), (1.2), удовлетворяющие условиям ч|~=0, ч~ =ч, р~ =р (1.б) э 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
