Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Вычислив главный вектор сил давления, действующих па крыло, получим, что г = О— парадокс Даламбера. Если задпяя кромка крыла острая, то окажется. что полученное решение дает в этой кромке бесконечно большие значеНня для некоторых коМпонспт скорОсти, т. с, поСтулат Чаплыгина — жуковского в течении, соотвстству|ощем полученному решеншо задачи, ие выполнен.

В этом решении нет произвольного параметра, который входил в решепис для плоской задачи (там этим параметром была циркуляция Г). В случае обтекания крыла бесконечного размаха задача сводилась к изучспию плоского движения обтеканию профилей, При рассмотрении обтска пня профилей был установлен постулат Чаплыгина — )Куковскаго и получена формула для подъемной силы. Теперь нужно построить теорию обтекания крыла иОИЕчиаГО размаха. Таким образом, сделанные предположения не обеспечивают возможности выполнения постулата Чаплыгина — Жуковского.

Нужно отказаться от некоторых пз ш|х. Предполагая, как и раньше, что движение идеальной жидкостн установившееся н потеицнальное, не будем требовать, чтобы о„и„, о, всюду вне крыла были непрерывны. Поскольку мы хотим сохранить постулат, т. е. чтобы жндкость, обтекая крыло конечного размаха, покидала его в задней острой кромке, н так как ниоткуда не следует, что скорости частиц жидкости, сходящие с верхней и нижней сторон крыла, одинаковы, то естественно допустить, что в жидкости имеется поверхность Х, проходящая через заднюю острую кромку, на которой иет непрерывности скоростей. Так как движение установившееся, то эта поверхность Х должна быть неподвижна в пространстве. В точках этой поверхности с верхней и нижней сторон должны быть выполнены условия непрерывности давления и нормальной составляющей скорости, т. е.

(1.4) д д Прп отсутствии массовых снл из интеграла Бернулли цг — + — = сопэ1 следует, что квадрат скорости, а следовательно, 2 р и величина скорости непрерывны при переходе через Х. д(р Но о'= о'+ о- где о = — — нормальная о~ — касательная сода 1 ставляющие скорости. Так как функция и'„непрерывна при пе- реходе через Х, то непрерывна и о-"„а тогда и абсолютная ве- личина о,. Но сама касательная составляющая о, может тер. петь разрыв, при этом прн стационарном движении разрыв ис- пытывает только о, — поперечная составляющая от. Поверхность, на которой терпит разрыв касательная состав- ляющая скорости, может быть интерпретирована как вихревой слой.

Заметим, гто поверхность Х, вообще говоря, неизвестна н должна быть найдена в процессе решения задачи. Таким образом, задача сводится к отысканию функции гр(х, у, я), удовлетворяющей уравнению Лапласа (1.1), гранич. ным условиям (1.2) на поверхности крыла 5, условиям (1.4) на неизвестной поверхности разрыва Х (эти условия нелинейные, так как давление выражается через о-= ~ — ) + ~ — ) + ~д ) ~дП) Гд + ~ — ) ) и условиям на бесконечности.

Условия на бесконеч~дя) ) ности теперь следует формулировать несколько иначе, а именно. с, = о, г>„= О, о, = О бесконечно далеко от 5 и Х. Основные предположения, которые лежат в основе теории, излагаемой в этой главе, следующие: 1) рассматриваемое крыло тонкое, 234 2) крыло имеет большое удлинение, 3) применима гипотеза плоских сечений, 4) справедлива схема жидкого крыла. Выберем оси координат так, чтобы ось х была параллельна скорости у невозмущеннсго потока, ось я направлена по раз- маху крыла. Начало координат поместим в середине размаха крыла.

1) Первое предположение означает, что профиль, получен- ный в сечении крыла плоскостью я = сопэ1, тонкий и хорда про- филя образует малый угол с направлением скорости (угол ата- ки а мал). 2) Для крыла произвольной формы в плане за удлинение уг принимают отношение Х = —, где Š— размах крыла, 5 — его площадь в плане. Для прямоугольного крыла 5 = 6Е, где 6— уг у хорда профиля и удлинение Х = — = — — отношение размаха я ь к хорде.

По второму предполо>кению Л велико (практически до. статочно брать Х ) 4), т. е. крыло длинное и узкое. 3) Гипотеза плоских сечений, оправданием которой служит второе предполо>кение, позволяет в плоскости я = сопэ1 скоро- сти и давления о„=о„(х, у), о„=о, (х, у), р=р(х, у) построить так >ке, как в случае крыла бесконечного размаха. 4) Гипотеза о справедливости схемы жидкого крыла предполагает возможность подобрать такую систему особенностей, которая может заменить действие твердого непроницаемого крыла на поток и вызвать такое же движение жидкости, которое вызывалось действием крыла. 5 2.

ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Составим представление об общей схеме рассмотрения задачи с учетом сделанных предположений. Жидкость, заполняющая безграничное пространство, обтекает крыло конечного размаха (рис. 49). С задней острой кромки крыла сбегает поверхность Х разрыва касательных составляющих скорости, которую можно трактовать как вихревую поверхность, образованную вихревыми трубкамп.

Выделим на этой поверхности бесконечно тонкую вихревую трубку. Прп сделанных предполо. жениях (движение установившееся, жидкость несжимаемая, массовые сплы отсутствуют) справедлива теорема Гельмгольца, согласно которой вихревые трубки при двпженци все время остаются вихревыми трубками, перемещаясь вместе с >кндкостью. Но поскольку движение установившееся, это возмо>кно, только если вихревые линии будут совпадать с линиями тока.

235 Так как крыло тонкое, то можно скорости представить в виде о„= о + о',, о, = о',, о,= о,', где о,, и,, о, — скорости возмушений, возникающие из-за наличия крыла. Так как последние невелики по сравнению со скоростью о, то линии тока будут мало отклоняться от линий тока невозмущенного движения. Поверхность тока, сбегающая с задней острой кромки крыла, и совпадающая с ней вихревая поверхиость будут мало отклоняться от плоскости (х,г). Поэтому приближенно можно припять, что вихревая поверхность совпадает с частью плоскости (х, г), а вихревые линии, образующие эту поверхность, будут прямыми, параллельными оси х.

По теореме Гельмгольца вихревая трубка сохраняет свою интенсивность по всей длине и потому не может оканчиваться в жидкости. Согласно схеме жидкого крыла можно считать все Рис. 49. пространство заполненным жидкостью. Поэтому вихревую трубку нужно представить продолженной в области внутрь крыла и затем выходящей из него, т. е. каждый вихрь можно представить в виде П-образного вихря. Часть вихря, связанную с крылом, называют присоединенным вихрем, части вихря, покидающие крыло и уходящие в бесконечность, называют свободными вихрями. Так как крыло имеет большое удлинение (узкое), то все присоединенные вихри рассматривают как один линейный вихрь внутри крыла, расположенный вдоль отрезка оси г ( — 1 ( г ( ( 1), имеющий переменную интенсивность Г = Г(г) вдоль своей длины. От этого присоединенного вихря сбегают свободные вихри, образующие вихревую пелену Х (рис.

50). Заметим, что в случае крыла бесконечного размаха свободные вихри отсутствуют. Свободные вихри индуцируют в пространстве скорости. В разных точках пространства эти скорости чь называемые индуктив- 236 ными, различны. Но пас интересует течение вблизи крыла. На основании гипотезы плоских сечений можем свести пространственную задачу к плоской. В сечении а = сопМ( — 1 = а ( 1) будем рассматривать обтекание профиля потоком, скорость которого складывается пз скорости ч невозмущенного потока п скорости чь вызываемой свободными вихрями.

Так как крыло имеет большое удлинение, то на протяжении длины хорды изменения скорости ч; в зависимости от х и у вблизи профиля малы. Поэтому можно приближенно принять индуктивную скорость постоянной и равной скорости, вызываемой системой свободных вихрей, в точке на осн г, т. е.

там, где расположен присоединенный вихрь (рнс. 51). Теперь в сечении а = сопз1 будем иметь плоскую задачу обтекания профиля потоком, имеющим скорость ч = ч + ч;, где ч; = сопз1 = чая). Угол а; между ч и ч называют углом скоса потока. в 1 (~+И~) ~ 0 Рис. 50. Рис. 51. Таким образом, вместо пространственного течения около крыла будем рассматривать в каждом сечении а = сопз1 плоское обтекание профиля потоком, скорость которого ч,„зависит от а. Итак, задача обтекания крыла конечного размаха разделилась на две — задачу обтекания профиля поступательным потоком и определение изменения циркуляции Г(а) по размаху крыла. Будем сначала считать Г1а) известной и получим формулы для индуктивной скорости, угла скоса потока, индуктивного сопротивления и подъемной силы.

Выделим элемент крыла шириной На и подсчитаем силу, действующую на него. По теореме Жуковского эта сила перпендикулярна скорости ч и равна 6Я = ро,пГ (а) да. ~2.1) Эту силу можно разделить на две составляющие: подъемную силу сИд —— - сЯ сов а~ 237 и силу Н~„связанную со скосом потока и называемую силой индуктивного сопротивления: сИ, = сИ яп а;. Учитывая малость угла аь имеем (2.2) Й~, мсИ, сИ,ма;сИ. О.

Кроме того, из рис, 51 видно, что 1да; = — — ', а для малых а, (2.3) Интегрируя равенства (2.2) по размаху крыла с учетом (2.1), получим формулы для подъемной силы и силы индуктивного со- противления, действующих на крыло: г1 Я„= ро ~ Г сЬ~. г1 Я,=ро ~ а ГсЬ, (2.4) (2.5) или г1 ~~х = — р ~ 0;Г ~2. (2.6) 1 ~Г Нп;= — —— 4л г — ~ (2.7) Интегрируя (2.7) по размаху крыла ( — 1, + 1), получаем скорост~, индуцируемую в точке (О, О, г) системой свободных вихрей: Г'т 11 0 = —— 4д .1 с1~ г — ~' (2.8) (При этом интеграл вычисляется в смысле главного значения Коши.) Этими формулами определяется силовое воздействие потока па крыло, если известно распределение циркуляции Г(я) по размаху крыла. Преобразуем эти формулы.

От элемента Н~, взятого около точки ~ присоединенного вихря, отходит свободный вихрь. Интенсивность свободного вихря НГ равна изменению интенсивности присоединенного ~г вихря, т. е. НГ = — „Ы;. Бесконечная вихревая нить, параллельная осп х и проходящая через точку (О, О, ~), вызывает Г 1 в точке (х, О, я) скорость о = — — .

Характеристики

Список файлов лекций