Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(6,3) Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области х, ограниченной поверхностью 5, то на этой поверхности задается нормальная составляющая скорости о„~з = о„(М). (6.4) Если поле скоростей отыскивается во внешней части х, то наряду с (6.4) необходимо задать скорость на бесконечности.
В первом случае функция в,(М) не может быть произвольной. Действительно, интеграл ~~ о„г>о (расход жидкости через ооверхность) можно записать в виде 224 Уравнения (5.11), (5.12) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения (5.11) . Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсервативности массовых сил и бароклинности жидкости. П, оложим чп) пове = Ега ' рхность сферы 5 а4р,.
и подсчитаем а р сход жидкости , внутри которой нахо и 4у; через ~)4 ~~ 1~ ~ ~~ 2 2 0; дт= т,0,,р, Отсюда сле дует, что течение женно описат ь как течение с потенциалом 4р; можно п можно ожида ть, что от источника об ильности . Т риблиогда с!), (х, у, г) = — ~,0,,„ (42тг;) и из области т П одставляя (6,11) в 6.9 в ' .9), получаем е 1 4ср 4г6 С~ г 4 1 (6.12 В правой части (6.12) сто стоит сумма Римана для ЕЦ,2), Р то мана для интеграла 4г6 .),1,1 г (6.
13) Функция (6.13) называется зывается ньютоновым потенциалом. 16.8), функция являе ескои физики док ( . ), стремящимся тся единственн ым решением авн д азывается чт жит п ть некоторые имея на бесконечно сти к нулю е уравнения Пуассона Ополнител ы ело гладкой овать, чтобы функция 0 б и убывала на бесконечн где а>О Р= 1/2 г. есконечности как— ~2+а ' Таким образом е м, решение задачи (1) оп е определяет вектор у,=ага!7= — ! ага! ЕЦ Ч 1) Шт. (6.14) Перейдем теперь к еше Пе е решению задачи (111.
Ран любого ~жю А ГО . едовательно если го = О. Сле ра справе ли е ! искать еш д иво равенство решение задачи (11) ч2 = го1 А, 226 поэтом у можно ожидать, что имеет вид ь, что решение уравнения П пения уассона (6.8) ОК,2), 1) го первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид го1 го1 А = Й. (б. 15) функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство го1 го1 А = ргали Йч А — ЛА, запишем уравнение (6.15) в виде ЛА — ргали Йч А = — О. (6.16) Выбирая гр как решение уравнения Пуассона Лгр = — 7' (см. задачу (1)), получаем Йч А1 — — О, ч2 — — го1 А = го1 Аь Таким образом, использование векторов А и А1 для вычисления скорости чг приведет к одинаковым результатам, и при этом Йч А1 — — О. Итак, будем считать, что Йч А = О.
Тогда уравнение (6.16) примет вид ЛА = — О. (6. 17) В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид ЛАх — — — йх, ЛАу — — Йу, ЛА~ = — Й . (6.18) Каждое из уравнений (6.18) — уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (1). Таким образом, используя решение задачи (1), можно записать 4 (6.19) ч, = — го1 — дт. Возвращаясь к исходной задаче, получим ч = — — „~гас1 — дт+ — „го1 — дт.
(6.20) Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке. 1. При построении вектора А предполагалось, что Йн А = О. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действн- 227 Не уменьшая общности, можно считать, что дт А = О. Действительно, если Йч А = 7 Ф О, то, полагая А~ — — А+ огай гр, получаем Йч А1 — ~ + Йч ргали гр тельно удовлетворяет этому равенству. Рассмотрим сначала выражение Л ди А. Учитывая (6.17), получим Л ЙчА= ЙчЛА= — Йчй= — Йчго1ч=О. Таким образом, Йч А — гармоническая функция.
Нетрудно проверить, что 1пп г11ч А = О. Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нул)о на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, Йч А = О. 2. Установим единственность полученного решения задачи (6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным решением У имеется другое решение задачи У). Тогда разность и = у — у( удовлетворяет условиям Йчи=О, го1ц=О, ц~ =О. где ср и А — построенные выше функции, а ц удовлетворяет уравнениям Йчы = О, го1 и = О.
Очевидно, что и = дгаг1 ф Тогда Йчы = Йч дгаг1 ф = Лф = О. Для нормальной составляющей о, будем иметь о„(з = — Е) + го(„А(а+и„(з = )г„(М). Следовательно, — ,'~ ~ =((М), гле ((М) = )г„(М) — — ~ — го(„А(з. Поскольку ( — заданная д(р дп функция, для $ получаем задачу Неймана. (6.21) % 7. СКОРОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ВИХРЕВОЙ НИТЬЮ Пусть в жидкости, заполняющей все пространство, имеетсу'.
замкнутая вихревая трубка с конечным объемом т. Поле скоростей, индуцируемое такой вихревой трубкой, определяется формулой (6.20). В нашем случае й(х, у,,е) = О вне области т. Так 228 Покажем, что и = О. Очевидно, что и — потенциальное поле и = дгаг1 ~р. Но Йчи = Йч дгаг1 гр = О. Следовательно, ~р, а вместе с ней и и являются гармоническими функциями. Таким образом, и — гармоническая функция, обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда следует, что и = О и У) — У. Единственность полученного нами решения доказана.
3 а м е ч а н и е. Скажем несколько слов о решении в области т, ограниченной поверхностью 5, задачи (6.1), (6.2) с граничным условием (6.4). Решение этой задачи можно искать в виде ч = дгаг1 (р + го1 А + и, как мы предполагаем, что в жн ко ЧТО В ЖИДКОСТИ НЕТ ИСТОЧНИКОВ, ТО Ч вЂ” ГО1 11~ (7.1) Пусть о — сечение трубки, 1 — средняя лин сательной к средней линии. Полагая вихрь янным в каждом сечении т кп вихревой трубки длины Л можн гг и 4 1 а ! (7.2) Т устремляя о к нулю (при этом Й вЂ” оо но та )> б р юыив~ос~~~ Г = й П постоянным пол ч Г постоянна вдоль 1, поэтом пе ем о. о теореме Гельм ь, поэтому, переходя к пределу, получаем ч=— (7.3) Проекции скорости ч на коо динатны формулам координатные оси определяются по В скоб скобках под знаком интегралов в '7.4' ст векто ного п алов в ', .
) стоят компоненты кторного произведения двух векторов 1 и т = —. Поэтому Г 8 Зак, 1031 229 Г / д ! д Векто 1 н р е зависит от координат х е. В , у,,г. ыполняя дифференцирование под знаком интег рала и учитывая, что дгай — = Г = — —,, где г=(х — ~)1+ (у — п)1+ (г — ~) К получаем г г" 1 (7.4) 1 г~ — ' у — т~ л Г Г~х г 41~~, . У х 1 Г а формулы (7.4) для скорости, нндуцируемой в пространстве вихревой нитью, можно записать в виде ИХ п1),.г 4г, ИХ ) г г и г г ~П (7.5) г .
и с численным значением ~ Лч ~ = — 81п а —. Здесь а — угол 4л ,.г ° между векторами $ и г (рис. 46). Формулы (7.5) и (7.6) аналогичны формулам Био — Савара в электродинамике. Р,Угя) Р Ъ / / Рис. 47. Рис. 46. э 8. ПРЯМОЛИНЕИНАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ Формулы (7.5), (7,6) были выведены для замкнутой вихревой нити, однако они имеют смысл и для бесконечной вихревой нити. В качестве примера рассмотрим прямолинейную вихревую нить, проходящую через точку Д,~) параллельно оси г (рис, 47).
Тогда 1, = 1, = О, 1, = 1, й = сК~ и формула (7.5) приобретает вид (8.1) илии в проекции на оси координат Г г+ а1 о,= — (Ч вЂ” у) ~ х 4д Г Г г+" Д1 о = — — ($ — х)~ У 4л ,.з (8.2) о,=О. 230 Очевидно, что элемент вихревой нити И порождает в точке М (г) скорость Лч: л.=+(~Х вЂ” ") — ", (7.6) Полагая р = ~/(х — ~)г+ (у — г1)г, получаем Поэтому формулы 18.2) можно записать так: Г у — г1 Г х — $ 0 г х 2 г ~ у (8.3) 0, = О. Н рудно видеть, что формулы (8.3) описывают плоское течеетр ние.
. В каждой плоскости, перпендикулярнои вихрю, част ць их ь. Ведвпжутся по окружности, в центре которых находится вихрь. е- Г личина скорости 0 = — —. 2л Р' Таким образом, рассмотренное в главе 111 течение в плоскости от точечного вихря, есть течение, вызываемое бесконечно тонкой прямолинейной вихревой нитью, перпендикулярной этой плоскости. 9 9. ВИХРЕВОИ СЛОИ Представим себе плоское движение жидкости со следующим распределением скоростей (рис. 48): 0~ при у <О, 0~+ ' у при 0(у(е, е 0г при у) е. Рис. 48, (9.1) Две другие составляющие скорости 0, = 0, = О. Вычислим вектор вихря для рассматриваемого движения. Так как течение плоское, то отлична от нуля только составляющая вихря скорости вдоль оси г ' дну дух ~ Игах дх дд,~ ду Воспользовавшись выражением (9,1), получим для й, 0 при о<0, Й = ' ' при 0(у(е, г и 0 при у) О. (9.2) Таким образом, линейному распределению скорости жндког~1 — 0г сти в слое соответствует вихрь Й, =, где е — ширина слоя.
231 Выдели,д в слое вихревую трубку прямоугольного сечения шириной Ьх = 1, высотой е и вычислим ее интенсивность: Из последней Формулы следует, что интенсивность вихревой трубки 1' = й:в ис зависит от толщины слоя в. В пределе, коГда а 3 О, Йг ~ ОО, а и((тепси в((ость 1 = О( — '2 сох ра и ястся постояннои, будем иметь течение с повсрхиостью разрыва касательной соста вля (ощей скорости. Это течение с тан генц иальным разрывом можно трактовать как течение, порождаемое вихревым слоем (бескоиечио топким вихревым слоем, в котором расположены вихри достаточно большой иитеисивности), ГЛА В Л ХЧП ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА % 3.
МЛТеМАТИчеСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДЛЧи ОБ ОБТеКАНии КРЬВЬ,ПЛ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ЗЛДНЕЙ ОСТРОЙ КРОМКОЙ. ОснОВные пРедпОЛОЖенИя теОРии КРылА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА Пусть на крыло консчиого размаха набегает установнвшийгя еэвнхревой поток идеалы ой несжимаемой жидкости.
Массовые силы будем предполагать отсутствующими. Так как лоток безвихревой, то существует потенциал скоростей <р и задача сводится к отысканию функции ср(х, ц,а), удовлетворяющей уравненпю Лапласа дх~ + ду' + дг' дф — и ( ) 1.1 и граничным условиям ла поверхности крыла (1.2) Й на бесконечности (принимая, что ось х параллельна ч ) — =о, — =О, — =О. дф дф дф дх ~ дгр э дг (1.3) Если прп этом. как и в случае плоской задачи, потребовать непрерывности скоростей и„ = д , и„= †,, о, — во всем внешнем по отношению к крылу пространстве, то такая задача будет иметь единственное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
