Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не меняется со временем, т. е, Г = Й ч с~г = О. Следовательно, для участка о поверхности 5, учитывая формулу Стокса, получаем 0 и с~5= О. а Ввиду произвольности о из (3.3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (3.1), т. е. поверхность 5 вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вихревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в которой й, Ф О. По непрерывности й, Ф О и в некоторой области, ограничивающей эту точку.
Эту область можно выбрать настолько малой, что й„будет сохранять тот же знак, что и в точке А. Взяв эту область за о, получим Й„Ио Ф О, что протио воречит (3.3). Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени ~, жидкая кривая А,В, есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверхности 5~ и 52 . Линия пересечения 5~ и 5~ есть по построе<о> со> <о> <о> нию вихревая линия А,ВО. В момент времени ~ жидкие поверхности 51 и 52 перейдут в поверхности 5, и 5, По доказанному <О~ (О1 выше поверхности 5, и 5., будут вихревыми. На поверхности 51 будут все жидкие частицы, которые были на 5~, на 52 — все (0) частицы, которые были на 52 .
Жидкие частицы, которые при<о> надлежали сразу двум поверхностям 51 и 5,, опять будут <о> <о> принадлежать сразу двум поверхностям 5, и 5, Это значит, что вихревая линия АОВ, перешла в линию пересечения АВ вихревых поверхностей 5, и 5,. Вектор вихря ~? в любой точке пересечения двух поверхностей 51 и 5~ должен лежать в касательной плоскости к каждой нз поверхностей, т. е. вектор Р направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия А — вихревая линия.
Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем. Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватываю- 219 Р т ассмот вих , заключенна я ТРИМ ПОТОК ВИХ огласно тео вихря через пов ореме Гаусса — Ост — строградского, ~л ~5 так как Йчй = Йчг — . з — з .4) слел 1~5 ~л1~5+ л - л й — „Й„д5+ Й„д5= О. Рис. 44 Поскольку й, = О на ность), из (3.5) (3.5) имеем (Х вЂ” вихре евая поверх~л 1~5+ ~л 1~5 3 з~ зг (3.6) десь и — внеш объ шняя н ( 44) В ш нормаль к п ограничивающей — 1 И ИСПОЛЬЗ Я О ормулу Стокса, у Ф О шз $ «'ш«гр, ~~а.ня-$ нг-г',— г„ (3.7) где Г1 и Г2 — ци ркуляции, выч получим равлении.
Из фо ормулы (3 6) ч ри обходе конту , учитывая (3.7), ч'Иг= ч'дг, 1 Г,=Г, 220 щему ~рубку à — ф тенсивн ~ "1 ' " аКоЕ понятиЕ 4ч ° дг. Т ОСТЬ 1Т е имеет см ' циркуляция Г смысл, если н тура ~ по л не зависит длине трубки. По от положения кон, пересекающая в Докажем, что л ая вихревую трубк . ку. 0 их ее, и1 их на п ь одна и оверхностн раниченный и та же. Пуст и 52 — с Ров ДУ ~1 И 12.
ои поверхности и тру ки нно контурами 5 т. е. интенсивность Г вихревой трубки постоянна по ее длине. Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следовательно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем, ф 4. 0 ВОЗНИКНОВЕНИИ ВИХРЕИ сЬ 1 — = à — — ргали р Ж р Э уравнение (1.6) можно переписать в виде — Г дг — — ргали р дг.
с(Г 1 (4.1) Рассмотрим два случая: 1) жидкость баротропна: р = ~р(р), но массовые силы не консервативны; 2) жидкость бароклинна, т. е. плотность зависит не только от давления, но и от других параметров, например, температуры, влажности (для воздуха) или от солености (для воды). 1 В первом случае имеем — угад р=дга6Р, и, следовательно, — ргали р ° дг = ргали Р ° дг = йР = О. Равенство (4,1) принимает вид — Г ° дг. дГ (4.2) Но правая часть (4.2) — работа силы, действующей на единицу массы, при обходе контура 1. Эта работа в неконсервативном дГ поле, вообще говоря, не равна нулю.
Следовательно, — ФО и теорема Томсона несправедлива, вихри могут возникать и могут уничтожаться. 221 Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны.
Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости Рассмотрим второй случай, предполагая, что массовые силы консервативны: Г = — ргали Р, но жидкость бароклинна. В этом случае равенство (4.1) принимает вид — — — ~гайр Шг= — ~ — Шр = — $ ш Шр, (4.3) ИГ г 1 г 1 ж 5!р ~ Р Рис.
45 — — ® ЙР— (БАЙР— ®ф — ®ЙР= гс А — ~о г~Р— ~о г~Р = ~~о — (0Ъ + 1) = — 1. в ~в (4.4) При другом расположении поверхностей можно получить равенаг ство — =+ 1. В первом случае трубка называется единичной ас отрицательной, а во втором — единичной положительной изобаро-изостерической трубкой. Если контур охватывает Ж+ единичных положительных трубок и Ж отрицательных, то аг + — =Ж вЂ” Ж . ас (4. 5) Равенства (4.3), (4.5) составляют содержание теоремы Бьеркаг неса.
Они показывают, что в бароклинной жидкости — Ф О ас и, следовательно, вихри в бароклннной жидкости могут возникать и уничтожаться, ! где о = —. Р' Рассмотрим два семейства поверхностей: р = сопй (изобарические поверхности) и (в = сопМ (изостерические поверхности).
В баротропной жидкости плотность сохраняет постоянное значение на изобарнческой поверху =,+1 ности. Следовательно, в баротропной жидкости изобарические и изостерические поверхности совпадают. В рассматриваемом же нами слу- ~ ш=ц)о чае эти поверхности будут пересер=ро каться. Четыре поверхности: (в = = оо, (в = (в(, р = Ро, р = р( обрар=ро+1 зуют трубку, которая называется изобаро-изостерической.
Рассмотрим трубку, для которой о( = (во + 1, р( — — ро + 1, и контур АВС0, охватывающий эту трубку (рис. 45). Тогда 5 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИХРЯ Получим уравнения, описывающие изменение вихря. Будем исходить из уравнений Эйлера, записанных в форме Громеки— Лэмба: дч ,р~г ~ 1 —, + егай ~ — ) — ч Х го1ч = à — — огай р. (5.1) д1 Применим к обеим частям этого равенства операцию го1. Тогда получим дй ~)2 1 — + го( агаг) ( — ) — го( (ч Г( го( ч) = го( à — го( ( — ага г) р) . (5.2) Воспользуемся теперь следующими легко проверяемыми форму.
лами векторного анализа: го1 (А Х В) = (В ° Ч) А — (А ° Ч) В + В Йч А — А Йч В, (5.3) где (В ° Ч)=()В, +)Ва+)гВ,) () — +) — +)г — ) = — 8„— + 8„— + 8,—, д д д го1(аА) = а го1А+ дгай а Х А; (5.4) го1 огай 8 =0; (5.5) Йчгог С =О. (5.6) Из формулы (5.5) следует, что го1 угад — =О. (5.7) Из формул (5.3) и (5.4), если положить А =ч, В=го1ч=0, будем иметь го1(ч Х го1ч) = (О ° Ч) ч — (ч ° 7) О + 0 Йчч. (5.8) Из формул (5.4) и (5.5) получим 1 го1 ~ — дгай р) = угад — ) Х ргали р= — —,дгай рХ дгайр. (5.9) Р Р Р' Подставляя (5.7), (5.8), (5.9) в (5.2), имеем дй 1 д, + (ч ~) 0 — (0 ° Ч) ч — 0 Йч ч = го1 Г + —, ргали р Х ргали р, ИЛИ вЂ” = (О ° 'ч) ч + Й Йч ч + го1 Г + —, ргали р Х дга Й р. (5.10) Ый 1 Уравнение (5.10) называется уравнением Фридмана.
Если поле массовых сил консервативно (Г = — ргали У) и жидкость баро тропна, то го1 Г=О, ~гаЙр Х ргали р=(р'(р) дгаЙ р Х ~гад р =О. 223 В этом случае уравнение Фридмана приобретает вид — — (И ° Ч) ч — Ийчч =О. ~й (5.1 1) Если, кроме того, жидкость несжимаема (йч ч = 0), уравнение (5.10) запишется в виде — =(и ° ч) ч.
~й Ж (5.12) з 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ По заданному полю скорости легко найти его дивергенцию 0 = йч ч и вихрь й = го1 ч. Поставим обратную задачу. Пусть заданы функции 0 = 0(х, у, з) и й = й(х, у, з). Требуется найти поле скорости ч(х, у, з), удовлетворяющее уравнениям 41ч ч = 0 (х> д> з); (6.1) го1ч =Й(х, у, з). (6.2) Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как йч го1 ч = О, то одно из необходимых условий разрешимости системы состоит в выполнении равенства йчЙ=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
