Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Из (4.26) следуют ра. венства д«Рз д«рз ~ р дл а дг 1~ л» = ! со30 «Р ! = со30 (4 27) Подставив (4.27) в (4.13), найдем '-=- Ц ".'-=';11-" -= >«2>« «л' гг 2 ~ ~ сов О 31 п О «уО д, = „рз 2 3 (4.28) Точно так же получим 2 Хп — — 122 — — — рлЯ'. 22 3 (4.29) Последние три равенства (1.8), если перейти в них к сферическим координатам и учесть, что при этом а = 31п О сов Х, р = = 31п О 31п А, у = сов О (нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу), дают Отсюда непосредственно следуют равенства »'44»'56»'66 (4,30) 213 дф,. Отметим, что равенство нулю производной д ' и равенство дл ~ Р нулю функции «а«на бесконечности обеспечивают равенство нулю этой функции во всем пространстве. Далее, в силу симметрии шара можно утверждать, что все ~и = О при 1 ~4'= К Таким образом, формулы (4.12) примут вид В,= 3 рлдн%(~„~=1, 2,3; (4.31) ~'=4, 5, 6.
В;=О, (4.32) В соответствии с формулами (3.18) и (3.23) получаем , лг К = — — рлР— з Ж ' (4.33) 1. =О. Формулы (4.33) дают главный вектор и главный момент сил, действующих со стороны жидкости на сферу. Из (4.33) непосредственно видно, что в нашем случае силы приводятся к одной равнодействующей, приложенной в центре шара. Равенство нулю главного момента можно было бы предвидеть и с самого начала вследствие симметрии задачи. Если масса шара равна т и на шар действует сила Г, приложенная в его центре, то уравнения движения шара(4.2) можно переписать в виде ж т — +-рлрз — = Р, ж з ж или (т+ — рлУ) д, — — Г. (4.34) Таким образом, движение шара происходит так, как оно происходило бы в пустоте при том, что масса шара увеличилась на величину — рлдн, равную половине массы жидкости, вытес- 2 з ненной шаром, Согласно обозначениям (4.7) равенства (4.31) эквивалентны двум векторным равенствам В==рлУ11, ! =О.
ГЛАВА ХИ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ~~ й и ~)5=$(т ~)г). Таким образом, циркуляция является одной из важных харак- теристик вихревых течений. ~ 1. ТЕОРЕМА ТОМСОНА Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, получим один вспомогательный результат кинематического характера. Рассмотрим, как с течением времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому «жидкому» контуру). Такой контур перемещается вместе с жидкостью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура Г = Г(1). Рассмотрим незамкнутый жидкий контур АВ в различные моменты времени.
Для такого контура гв гв Г (1) = ~ ч ° ~г = ~ о„~х+ о„~у+ о, сЬ. А А Для того чтобы составить представление об изменении Г(1), вычислим производную (1.1) (1.2) Очевидно, что пределы интегрирования А и В зависят от времени 1. Перейдем в интеграле к такой переменной, у которой область интегрирования не зависит от времени. Пусть А0В0— положение кривой АВ в момент времени 1 = 10. Введем координаты Лагранжа, а именно каждую точку (частицу) М на Аа Предыдущие главы были посвящены рассмотрению течений идеальной жидкости, для которых существовал потенциал скорости ~р. В этом случае ч = угад ~р, и поскольку для любой функции ~ имеет место равенство го1 угад ~ = О, поле скоростей было безвихревым: й = го1 ч = О.
В этой главе мы будем рассматривать вихревые движения, т. е. такие движения, у которых вектор вихря во всех точках области илн какой-либо ее части не равен нулю: й М О. При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность 5 равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность: в момент времени 1 будем характеризовать моментом времени 1 и положением Мо частицы на кривой АРВО в начальный момент времени 10 (рис. 43). Положение частицы на АРВО можно задавать длиной дуги з, отсчитываемой от точки Ао.
Если г — радиус-вектор точки М, то г = г(з, 1), а скорость ч и ускорение ю согласно определению будут равны соответственно дг д'г ч= —, д1' дР (1.3) Так как при интегрировании вдоль контура время 1 фиксиродг вано и дг — „сЬ, то (1.1) можно переписать в виде г (1) = ~ ч —,'" ~~я. (1.4) Здесь 1 — длина дуги АОВО. В интеграле (1.4) пределы интегри- дГ рования постоянны, и прн отыскании — можно проводить диф. Ж ференцирование под знаком интеграла: дг дч Вдоль контура — сЬ = дг, ч — сЬ вЂ” ~ — ) сЬ = д ~ — ).
дя ' дя дз ~,2) ~,2)' Переходя к старым переменным, получаем (1.5) Если кривая замкнута (А = В), то — ~ч йг. ИГ (1.6) Так как жидкость баротропна (р = р(р) ), то существует функ- 1 ция Р(р) такая, что — огай р огай Р. Вследствие того, что Р Таким образом, производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому (жидкому) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру. Применим полученный нами результат для доказательства так называемой теоремы Томсона: если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени. Для идеальной жидкости имеем ~ч = — — дгаЙ р+ Г. 1 Р (1.7) массовые силы консервативны, Р = — дга!1 У.
Поэтому, учитывая условия теоремы Томсона, будем иметь ~ч = — дга!1 (Р+ У). Подставив (1.8) в доказанное равенство (1.6), получим (1.8) — „, = — ~>магог)(Р+)г) Шг= — $Ш(Р+)г) — О, (1.9) откуда Г (!) = сопз1. Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается для этого . контура постоянной во все время движения. во 3 а меча н и е. При записи м оо о (1.9) учитывается, что интеграл 8Р р 8Р вычисляется для данного момен- у "о м та времени, поэтому ргали ~ дг = = д~.
о м' Я Поскольку из теоремы Стокса О Я! следует, что поток вихря через поверхность 5 равен циркуляции скорости по контуру, ограничи- Рис. 43. вающему эту поверхность, то из теоремы Томсона вытекает, что поток вектора вихря через поверхность 5, ограниченную жидким контуром, не зависит от времени. $2. ТЕОР ЕМА Л А ГРА НЖА Пусть выполнены условия теоремы Томсона, т. е. жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Тогда справедлива следующая теорема Лагранжа: если в некоторый момент времени 1о в фиксированной массе жидкости нет вихрей, то их не было в предыдущие и не будет в последующие моменты времени. Действительно, пусть в рассматриваемой массе жидкости, находящейся в объеме г, в момент времени 1, нет вихрей, т.
е. О=О. Тогда течение жидкости потенциально: ч = дга!1 ц) и циркуляция скорости Го по произвольному замкнутому контуру 1о равна нулю: Го ч с~г = дга!1 ц) с~г = О. !о !о Рассмотрим выделенную массу жидкости в любой другой момент времени ~ и в ней возьмем произвольный контур 1. Любому контуру 1 в момент 1 можно сопоставить контур 1о в момент !о, состоящий из тех же частиц жидкости, для которого справедлива формула (2.1) . (2.1) 211 По теореме Томсона циркуляция Г по контуру 1 будет также равна нулю. Применяя формулу Стокса, получаем для любого момента времени й„д5=Г=О, (2.2) где 5 — поверхность, ограниченная контуром 1 и целиком находящаяся в объеме, занимаемом жидкостью.
Поскольку для любой области 5 интеграл равен нулю, из (2.2) следует, что 0= О. Теорема Лагранжа составляет основу для рассмотрения безвихревых течений в гидромеханике идеальной жидкости, так как если движение жидкости безвихревое (потенциальное) в начальный момент времени, то оно будет безвихревым (потенциальным) и в последующие моменты времени.
Все предположения в теореме Лагранжа существенны. В частности, существенно не сформулированное явно предположение о гладкости поля скоростей. В условиях Земли теорема Лагранжа является приближенной, так как массовые силы будут консервативны, если не учитывать силы Кориолиса, а сжимаемую жидкость можно рассматривать как баротропную, если пренебречь рядом факторов, например, теплопроводностью и др.
$3. ТЕОР ЕМЫ ГЕЛ ЬМ ГОЛ ЬЦА Г=$ч Шг= ~~ О ° пШБ=О. (3.2) 218 В этом параграфе предполагаются выполненными условия теоремы Томсона, а именно: жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Первая теорема. Если жидкие частицы в какой-либо момент времени 10 образуют вихревую линию, то эти же частицы образуют вихревую линию во все последущие и все предыдущие моменты времени. Докажем сначала, что если в некоторый момент времени жидкие частицы образут вихревую поверхность, то эти же частицы образуют вихревую поверхность при всех 1 (1 ( 10 и ~) ~0) ° В каждой точке вихревой поверхности согласно ее определению вектор вихря скорости перпендикулярен нормали к по.
верхности, т. е. Й„=Й ° и= О. (3.1) Пусть жидкие частицы в момент 10 образуют вихревую поверхность 50. Рассмотрим на этой поверхности произвольный замкнутый контур 10, ограничивающий участок поверхности о0. Согласно формуле Стокса имеем В момент времени 1 частицы жидкости, находившиеся в момент на контуре 10, образуют контур 1, ограничивающий площадку ~ поверхности 5, на которую перешли частицы с поверхности 5О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
